Compléments
sur les polynômes
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Ce chapitre reprend et complète celui de première année sur les polynômes. Pour
cette raison, il ne suit pas la structure usuelle de l’ouvrage. Il est composé de trois
parties : généralités sur les polynômes, polynômes à coefficients entiers et des compléments sur les nombres algébriques et transcendants. Pour des rappels de cours sur
les polynômes, on pourra se reporter au livre de première année.
2.1 GÉNÉRALITÉS SUR LES POLYNÔMES
Exercice 2.1
Centrale PSI 2007
Soit P = X
5 + X
4 + 2X
3 + 1. On note z 1 , . . . , z 5 ses racines complexes. Calculer
i = j
z
2
i z j .
On note s 1 , . . . , s 5 les fonctions symétriques élémentaires de z 1 , . . . , z 5 , et S la
somme à calculer. On a s 2 s 1 =
1i< j5
z i z j
1k5
z k = S + 3
i< j z i z j z k car
en multipliant ces deux sommes, on trouve d’une part des termes de la forme
z
2
u z v lorsque k est égal à i ou j, et d’autre part des termes de la forme z i z j z k
avec i < j < k, chacun de ces termes s’obtenant trois fois, à partir des produits
(z i z j ) × z k , (z i z k ) × z j et (z j z k ) × z i . On en déduit que S = s 1 s 2 − 3s 3 , or par
relations entre coefficients et racines, on a s 1 = −1, s 2 = 2, s 3 = 0, d’où S = −2.
Exercice 2.2
Mines-Ponts PSI 2006
Soit P ∈ R[X ] unitaire de degré n tel que ∀k ∈ [[1 , n + 1]], P(k) =
1
k
2
.
Calculer P(n + 2).