Chap. 2. Compléments sur les polynômes
Le polynôme X
2 P − 1 est unitaire, de degré n + 2 et s’annule en chaque entier
de 1 à n + 1, donc il s’écrit (X − a)
n+1
k=1
(X − k). En identifiant les termes
constants, on obtient 1 = (−1)
n+1 (n + 1)! a. En prenant la valeur en n + 2,
on obtient (n + 2)
2 P(n + 2) − 1 =
n + 2 +
(−1)
n
(n + 1)!
n+1
k=1
(n + 2 − k), d’où
P(n + 2) =
1 + (−1)
n + (n + 2)!
(n + 2)
2
.
Exercice 2.3
Polytechnique MP 2007
Déterminer les polynômes P ∈ C[X ] tels que :
P(U ) ⊂ U , où U = {z ∈ C | |z| = 1}.
Soit P =
n
k=0
a k X
k
∈ C[X ], de degré n, tel que P(U ) ⊂ U . On pose Q =
n
k=0
a n−k X
k .
On a ∀u ∈ R, P(e
iu )P(e iu ) = 1, d’où par changement d’indice j = n − k dans
la deuxième somme,
n
k=0
a k e
iku
·
n
j=0
a n− j e
−i(n− j)u = 1, d’où P(e
iu )Q(e
iu ) = e
inu .
Par conséquent, le polynôme P Q − X
n s’annule en tout point de U , donc c’est le
polynôme nul. Comme P est de degré n, on en déduit que Q est constant, donc
P = a n X
n , avec |a n | = 1. Inversement, tous les polynômes a X
n avec |a| = 1 et
n ∈ N conviennent.
Exercice 2.4
Mines-Ponts MP 2005
Déterminer les polynômes P ∈ R[X ] tels que X
n divise X + 1 − P
2 .
• La fonction x →
√
1 + x est de classe C
∞ sur ] −1, 1 [ donc admet un développement limité à l’ordre n − 1 au voisinage de 0, de la forme P 0 (x) + O(x
n ), avec
P 0 =
n−1
k=0
1/2(1/2 − 1) · · · (1/2 − k + 1)
k!
X
k qui appartient à R n−1 [X ].
On a x +1 − P 0 (x)
2 = (
√
x + 1− P 0 (x))(
√
x + 1+ P 0 (x)) = (
√
x + 1+ P 0 (x))O(x
n )
donc x + 1 − P 0 (x)
2 = O(x
n ) quand x → 0. On en déduit que 0 est racine du polynôme X +1− P
2
0 avec un ordre de multiplicité au moins égal à n, donc ce polynôme
est divisible par X
n .