Chap. 1. Algèbre générale
g(0) = f
(0) est de classe C
∞ sur R. Ceci se traduit par l’égalité I = Id A,
donc I est principal.
• L’idéal I est premier car si ( f g)(0) = 0, alors f (0) = 0 ou g(0) = 0.
• Soit J un idéal de A contenant strictement I . Soit f 0 ∈ J \ I . Tout élément f ∈ A peut s’écrire sous la forme f −
f (0)
f 0 (0)
f 0 +
f (0)
f 0 (0)
f 0 , avec
f −
f (0)
f 0 (0)
f 0 ∈ I ⊂ J , d’où f ∈ J et J = A, donc I est maximal (on retrouve
ainsi qu’il est premier).
6) • Par linéarité de la dérivation, J est un sous-groupe additif. Si f ∈ J et g ∈ A,
alors f g a toutes ses dérivées nulles en 0 par la formule de Leibniz, donc
f g ∈ J et J est un idéal de A.
• On suppose que f 1 f 2 ∈ J et que f 2 /
∈ J . Soit k le plus petit entier tel que
f
(k)
2 (0) = 0. En écrivant que ( f 1 f 2 )
(k) (0) = 0, on obtient par formule de Leibniz f 1 (0) f
(k)
2 (0) +
1 jk
k
j
f
( j)
1 (0) f
(k− j)
2
(0) = 0, d’où f 1 (0) = 0, puis en
écrivant que ( f 1 f 2 )
(k+1) (0) = 0, on obtient de même f
1 (0) = 0 et ainsi de suite
pour finalement obtenir par récurrence que toutes les dérivées de f 1 s’annulent
en 0, donc f 1 ∈ J , ce qui prouve que J est premier.
• L’idéal J n’est pas maximal car il est inclus strictement dans I . Par la même
méthode qu’à la question 4), on en déduit que J n’est pas principal.