Exercice 1.50
Polytechnique MP 2005 Ã
Soient A un anneau commutatif et I un idéal strict de A (distinct de A).
1) Montrer que I est maximal pour l’inclusion parmi les idéaux stricts de A si et
seulement si pour tout a ∈ A \ I , I + a A = A.
On dit que I est principal lorsqu’il existe a ∈ A tel que I = a A.
On dit que I est premier lorsque ∀(a, b) ∈ (A \ I )
2 , ab ∈ A \ I .
2) Montrer que tout idéal maximal est premier.
3) Etudier la situation dans Z et dans K [X ].
4) Montrer que si A est un anneau principal (c’est-à-dire un anneau intègre tel
que tout idéal est principal), alors les idéaux premiers non nuls et maximaux
de A sont les mêmes.
5) Soit A = C
∞ (R, R) et I = { f ∈ A | f (0) = 0}. L’idéal I est-il principal ?
premier ? maximal ?
6) Soit J = { f ∈ A | ∀k ∈ N, f
(k) (0) = 0}. Montrer que J est un idéal. Est-il
principal ? premier ? maximal ?
1) Supposons I maximal. Soit a ∈ A \ I . On constate que I + a A est un idéal de A
contenant I strictement (car a /
∈ I ), donc I + a A = A.
Supposons que pour tout a ∈ A \ I , I + a A = A. Soit J un idéal de A contenant
strictement I , et soit a ∈ J \ I . Par hypothèse, I + a A = A, or I ⊂ J et a A ⊂ J ,
donc leur somme est incluse dans J , d’où J = A et I est maximal. L’équivalence
est démontrée.
2) Soient (a, b) ∈ (A \ I )
2 . On suppose que ab ∈ I . D’après 1), A = I + a A, donc
il existe x ∈ I et y ∈ A tels que 1 = x + ay, d’où b = bx + aby. Comme I est un
idéal, aby ∈ I et bx ∈ I , donc b ∈ I , ce qui est absurde, d’où finalement ab /
∈ I ,
et I est un idéal premier.
3) Les idéaux de Z sont de la forme nZ. Un tel idéal est maximal si et seulement si
n est premier, c’est-à-dire si et seulement si l’idéal est premier. Le résultat est le
même dans K [X ].
4) Soient I un idéal premier non nul et J un idéal tel que I J . Comme A est
principal, il existe a et b ∈ A tels que I = a A et J = b A. Comme I est inclus
dans J , il existe c ∈ A tel que a = bc, et I = J , donc b /
∈ I . Puisque I est
premier, c ∈ I , donc il existe d ∈ A tel que c= ad, d’où a(1 − bd) = 0. Or A est
intègre et a = 0, donc bd = 1, d’où 1 ∈ J , ce qui implique J = A. On a montré
que I est maximal.
5) • Un exercice classique d’analyse montre que si f ∈ C
∞ (R) vérifie f (0) = 0,
alors la fonction g : x →
f (x)
x
prolongée par continuité en 0 en posant
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Polytechnique MP 2005 Ã
Soient A un anneau commutatif et I un idéal strict de A (distinct de A).
1) Montrer que I est maximal pour l’inclusion parmi les idéaux stricts de A si et
seulement si pour tout a ∈ A \ I , I + a A = A.
On dit que I est principal lorsqu’il existe a ∈ A tel que I = a A.
On dit que I est premier lorsque ∀(a, b) ∈ (A \ I )
2 , ab ∈ A \ I .
2) Montrer que tout idéal maximal est premier.
3) Etudier la situation dans Z et dans K [X ].
4) Montrer que si A est un anneau principal (c’est-à-dire un anneau intègre tel
que tout idéal est principal), alors les idéaux premiers non nuls et maximaux
de A sont les mêmes.
5) Soit A = C
∞ (R, R) et I = { f ∈ A | f (0) = 0}. L’idéal I est-il principal ?
premier ? maximal ?
6) Soit J = { f ∈ A | ∀k ∈ N, f
(k) (0) = 0}. Montrer que J est un idéal. Est-il
principal ? premier ? maximal ?
1) Supposons I maximal. Soit a ∈ A \ I . On constate que I + a A est un idéal de A
contenant I strictement (car a /
∈ I ), donc I + a A = A.
Supposons que pour tout a ∈ A \ I , I + a A = A. Soit J un idéal de A contenant
strictement I , et soit a ∈ J \ I . Par hypothèse, I + a A = A, or I ⊂ J et a A ⊂ J ,
donc leur somme est incluse dans J , d’où J = A et I est maximal. L’équivalence
est démontrée.
2) Soient (a, b) ∈ (A \ I )
2 . On suppose que ab ∈ I . D’après 1), A = I + a A, donc
il existe x ∈ I et y ∈ A tels que 1 = x + ay, d’où b = bx + aby. Comme I est un
idéal, aby ∈ I et bx ∈ I , donc b ∈ I , ce qui est absurde, d’où finalement ab /
∈ I ,
et I est un idéal premier.
3) Les idéaux de Z sont de la forme nZ. Un tel idéal est maximal si et seulement si
n est premier, c’est-à-dire si et seulement si l’idéal est premier. Le résultat est le
même dans K [X ].
4) Soient I un idéal premier non nul et J un idéal tel que I J . Comme A est
principal, il existe a et b ∈ A tels que I = a A et J = b A. Comme I est inclus
dans J , il existe c ∈ A tel que a = bc, et I = J , donc b /
∈ I . Puisque I est
premier, c ∈ I , donc il existe d ∈ A tel que c= ad, d’où a(1 − bd) = 0. Or A est
intègre et a = 0, donc bd = 1, d’où 1 ∈ J , ce qui implique J = A. On a montré
que I est maximal.
5) • Un exercice classique d’analyse montre que si f ∈ C
∞ (R) vérifie f (0) = 0,
alors la fonction g : x →
f (x)
x
prolongée par continuité en 0 en posant
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