Chap. 1. Algèbre générale
Complément : Soit G = U (Z/ p
n
Z) le groupe des inversibles de l’anneau Z/ p
n
Z.
Le groupe G est d’ordre w( p
n ) = p
n
− p
n−1 = p
n−1 ( p − 1). D’après la question
précédente, 1 + p est d’ordre p
n−1 . Si on trouve un élément d’ordre p − 1, comme
p − 1 est premier avec p
n−1 , leur produit sera d’ordre p
n−1 ( p − 1) d’après l’exercice 1.30 page 17, donc engendrera G.
D’après l’exercice 1.45 page 29, il existe un élément a générateur de (Z/ pZ)
∗ . La
classe de a modulo p
n appartient à G, on note k son ordre. Alors a
k
≡ 1 (mod p
n )
et a fortiori a
k
≡ 1 (mod p), or a est d’ordre p − 1 dans (Z/ pZ)
∗ d’où p − 1 divise
k, donc il existe u ∈ N tel que k = u( p − 1). Dans ce cas, l’ordre de a
u dans G est
p − 1, qui est le plus petit entier j 1 tel que (a
u )
j
≡ (mod p
n ) par minimalité de
k. Le tour est joué.
Exercice 1.47
Polytechnique MP 2006 ÃÃ
Déterminer, à isomorphisme près, les groupes d’ordre 2 p, où p est un nombre
premier différent de 2.
• Si G a un élément d’ordre 2 p, alors il est cyclique, isomorphe à (Z/2 pZ, +).
• Sinon, d’après l’exercice 1.29 page 17, G admet un élément a d’ordre p. Soit
b ∈ G \ gr(a). Les éléments a
k b, pour k ∈ [[0 , p − 1]], sont deux à deux distincts
et n’appartiennent pas au groupe engendré par a, donc
G = {a
i b
j
| 0 i p − 1, 0 j 1}.
Comme gr(a)∩gr(b) est un sous-groupe strict de gr(b), son ordre divise strictement
celui de gr(b), et l’ordre de gr(b) divise strictement 2 p, donc gr(a) ∩ gr(b) = {e}.
Comme b
2
∈ G et n’est pas de la forme a
k b (car b /
∈ gr(a)), il est de la forme a
k
et par suite appartient à gr(a) ∩ gr(b), donc b
2 = e.
Montrons que ba = a
p−1 b. On sait que ba s’écrit sous la forme a
k b, avec
1 k p − 1 (car ba /
∈ gr(a)). L’élément ab n’est pas d’ordre 1 ou
2 p, donc est d’ordre 2 ou p. Or (ab)
p = (ab)
2
p−1
2 ab = a
(k+1)
p−1
2 +1 b car
(ab)
2 = abab = aa
k bb = a
k+1 . Cet élément est différent de e car b /
∈ gr(a), donc
ab est d’ordre 2, d’où (ab)
2 = a
k+1 = e, donc k = p − 1.
• On définit le groupe diédral D p comme étant le groupe (pour la loi ◦) des isométries d’un polygone régulier à p côtés. Le groupe D p est formé de p rotations et de p symétries axiales. Soient O le centre de ce polygone, a la rotation
de centre O et d’angle
2p
p
(a est d’ordre p), et b une symétrie axiale (d’ordre
2) laissant invariant le polygone (son axe passe par deux sommets opposés si p
est pair, et un sommet et le milieu du côté opposé si p est impair). On a alors
D p = {a
k , a
k b | 0 k p − 1}, avec ba = a
p−1 b. Il en résulte que si G n’est
pas cyclique, alors il est isomorphe à D p .
En conclusion, il existe deux structures de groupe d’ordre 2 p : (Z/2 pZ, +) qui est
cyclique et le groupe diédral (D p , ◦).
Complément : Soit G = U (Z/ p
n
Z) le groupe des inversibles de l’anneau Z/ p
n
Z.
Le groupe G est d’ordre w( p
n ) = p
n
− p
n−1 = p
n−1 ( p − 1). D’après la question
précédente, 1 + p est d’ordre p
n−1 . Si on trouve un élément d’ordre p − 1, comme
p − 1 est premier avec p
n−1 , leur produit sera d’ordre p
n−1 ( p − 1) d’après l’exercice 1.30 page 17, donc engendrera G.
D’après l’exercice 1.45 page 29, il existe un élément a générateur de (Z/ pZ)
∗ . La
classe de a modulo p
n appartient à G, on note k son ordre. Alors a
k
≡ 1 (mod p
n )
et a fortiori a
k
≡ 1 (mod p), or a est d’ordre p − 1 dans (Z/ pZ)
∗ d’où p − 1 divise
k, donc il existe u ∈ N tel que k = u( p − 1). Dans ce cas, l’ordre de a
u dans G est
p − 1, qui est le plus petit entier j 1 tel que (a
u )
j
≡ (mod p
n ) par minimalité de
k. Le tour est joué.
Exercice 1.47
Polytechnique MP 2006 ÃÃ
Déterminer, à isomorphisme près, les groupes d’ordre 2 p, où p est un nombre
premier différent de 2.
• Si G a un élément d’ordre 2 p, alors il est cyclique, isomorphe à (Z/2 pZ, +).
• Sinon, d’après l’exercice 1.29 page 17, G admet un élément a d’ordre p. Soit
b ∈ G \ gr(a). Les éléments a
k b, pour k ∈ [[0 , p − 1]], sont deux à deux distincts
et n’appartiennent pas au groupe engendré par a, donc
G = {a
i b
j
| 0 i p − 1, 0 j 1}.
Comme gr(a)∩gr(b) est un sous-groupe strict de gr(b), son ordre divise strictement
celui de gr(b), et l’ordre de gr(b) divise strictement 2 p, donc gr(a) ∩ gr(b) = {e}.
Comme b
2
∈ G et n’est pas de la forme a
k b (car b /
∈ gr(a)), il est de la forme a
k
et par suite appartient à gr(a) ∩ gr(b), donc b
2 = e.
Montrons que ba = a
p−1 b. On sait que ba s’écrit sous la forme a
k b, avec
1 k p − 1 (car ba /
∈ gr(a)). L’élément ab n’est pas d’ordre 1 ou
2 p, donc est d’ordre 2 ou p. Or (ab)
p = (ab)
2
p−1
2 ab = a
(k+1)
p−1
2 +1 b car
(ab)
2 = abab = aa
k bb = a
k+1 . Cet élément est différent de e car b /
∈ gr(a), donc
ab est d’ordre 2, d’où (ab)
2 = a
k+1 = e, donc k = p − 1.
• On définit le groupe diédral D p comme étant le groupe (pour la loi ◦) des isométries d’un polygone régulier à p côtés. Le groupe D p est formé de p rotations et de p symétries axiales. Soient O le centre de ce polygone, a la rotation
de centre O et d’angle
2p
p
(a est d’ordre p), et b une symétrie axiale (d’ordre
2) laissant invariant le polygone (son axe passe par deux sommets opposés si p
est pair, et un sommet et le milieu du côté opposé si p est impair). On a alors
D p = {a
k , a
k b | 0 k p − 1}, avec ba = a
p−1 b. Il en résulte que si G n’est
pas cyclique, alors il est isomorphe à D p .
En conclusion, il existe deux structures de groupe d’ordre 2 p : (Z/2 pZ, +) qui est
cyclique et le groupe diédral (D p , ◦).