Exercice 1.45
ENS MP 2007 ÃÃ
Soit p un nombre premier différent de 2. Montrer que le groupe multiplicatif
(Z/ pZ)
∗ est cyclique.
Indication : utiliser l’exercice précédent
On pose G = (Z/ pZ)
∗ . Le groupe multiplicatif G est d’ordre p − 1. Soit s le PPCM
des ordres des éléments de G. Par théorème de Lagrange, l’ordre de chaque élément
de G divise p − 1, donc s divise p − 1 par définition du PPCM. Tous les éléments
de G sont racines du polynôme X
s
− 1 à coefficients dans le corps Z/ pZ, dont le
nombre de racines est inférieur ou égal à son degré s, donc p − 1 s. Il en résulte
que p − 1 = s.
D’après l’exercice 1.44 page 28, à partir de deux éléments de G d’ordres a et b on
peut obtenir un élément d’ordre PPCM(a, b), donc en partant d’un élément de G et
en appliquant cette propriété successivement à tous les autres éléments de G, on en
déduit l’existence d’un élément de G d’ordre s, c’est-à-dire p − 1, ce qui prouve que
G est cyclique.
Exercice 1.46
Mines-Ponts MP 2006
Soit p un nombre premier différent de 2, et n un entier naturel 2.
Montrer que (1 + p)
p
n−1 ≡ 1 (mod p
n ) et (1 + p)
p
n−2 ≡ 1 + p
n−1 (mod p
n ).
Complément à : démontrer que le groupe des inversibles de Z/ p
n
Z est
cyclique.
On procède par récurrence sur n, à la manière de l’exercice 1.39 page 23. Si n = 2,
on a par formule du binôme (1 + p)
p = 1 + p
2 +
p
k=2
p
k
p
k
≡ 1 (mod p
2 ).
Supposons (1 + p)
p
n−2
= 1 + up
n−1 et (1 + p)
p
n−3
= 1 + p
n−2 + vp
n−1 , avec
(u, v) ∈ Z
2 . En élevant à la puissance p, on obtient grâce à la formule du binôme
(1 + p)
p
n−1
= 1 + up
n +
p
k=2
p
k
u
k p
(n−1)k
≡ 1 (mod p
n ) car k 2 donc
(n − 1)k n. On a (1 + p)
p
n−2
= (1 + p
n−2 + vp
n−1 )
p , d’où en développant
(1 + p)
p
n−2
= 1 + p
n−1 + vp
n +
p
k=2
p
k
p
(n−2)k (1 + vp)
k
≡ 1 + p
n−1 (mod p
n ) car
n 3 et k 2, donc (n − 2)k 2n − 4 n − 1. Puisque p divise
p
k
, on en
déduit que
p
k
p
(n−2)k
≡ 0 (mod p
n ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
ENS MP 2007 ÃÃ
Soit p un nombre premier différent de 2. Montrer que le groupe multiplicatif
(Z/ pZ)
∗ est cyclique.
Indication : utiliser l’exercice précédent
On pose G = (Z/ pZ)
∗ . Le groupe multiplicatif G est d’ordre p − 1. Soit s le PPCM
des ordres des éléments de G. Par théorème de Lagrange, l’ordre de chaque élément
de G divise p − 1, donc s divise p − 1 par définition du PPCM. Tous les éléments
de G sont racines du polynôme X
s
− 1 à coefficients dans le corps Z/ pZ, dont le
nombre de racines est inférieur ou égal à son degré s, donc p − 1 s. Il en résulte
que p − 1 = s.
D’après l’exercice 1.44 page 28, à partir de deux éléments de G d’ordres a et b on
peut obtenir un élément d’ordre PPCM(a, b), donc en partant d’un élément de G et
en appliquant cette propriété successivement à tous les autres éléments de G, on en
déduit l’existence d’un élément de G d’ordre s, c’est-à-dire p − 1, ce qui prouve que
G est cyclique.
Exercice 1.46
Mines-Ponts MP 2006
Soit p un nombre premier différent de 2, et n un entier naturel 2.
Montrer que (1 + p)
p
n−1 ≡ 1 (mod p
n ) et (1 + p)
p
n−2 ≡ 1 + p
n−1 (mod p
n ).
Complément à : démontrer que le groupe des inversibles de Z/ p
n
Z est
cyclique.
On procède par récurrence sur n, à la manière de l’exercice 1.39 page 23. Si n = 2,
on a par formule du binôme (1 + p)
p = 1 + p
2 +
p
k=2
p
k
p
k
≡ 1 (mod p
2 ).
Supposons (1 + p)
p
n−2
= 1 + up
n−1 et (1 + p)
p
n−3
= 1 + p
n−2 + vp
n−1 , avec
(u, v) ∈ Z
2 . En élevant à la puissance p, on obtient grâce à la formule du binôme
(1 + p)
p
n−1
= 1 + up
n +
p
k=2
p
k
u
k p
(n−1)k
≡ 1 (mod p
n ) car k 2 donc
(n − 1)k n. On a (1 + p)
p
n−2
= (1 + p
n−2 + vp
n−1 )
p , d’où en développant
(1 + p)
p
n−2
= 1 + p
n−1 + vp
n +
p
k=2
p
k
p
(n−2)k (1 + vp)
k
≡ 1 + p
n−1 (mod p
n ) car
n 3 et k 2, donc (n − 2)k 2n − 4 n − 1. Puisque p divise
p
k
, on en
déduit que
p
k
p
(n−2)k
≡ 0 (mod p
n ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit