Remarque
Une troisième méthode consiste à poser, pour |x| < 1, f (x) =
∞
n=0
d n
n!
x
n
et à montrer à l’aide du produit de Cauchy que e
x f (x) =
1
1 − x
, d’où
f (x) =
e
−x
1 − x
. En refaisant le produit de Cauchy des deux séries entières
de somme e
−x et
1
1 − x
, on obtient par unicité des coefficients d’une série
entière :
d n
n!
=
n
k=0
(−1)
k
k!
.
3) Soit a n,k le nombre de permutations de S n ayant k points fixes. On a a n,k =
n
k
d n−k ,
car il s’agit de choisir les k points fixes parmi n puis de compter les dérangements des n − k éléments restants. Le nombre moyen de points fixes est donc
m =
1
n!
n
k=0
ka n,k =
1
(n − 1)!
n
k=1
n − 1
k − 1
d n−k en utilisant l’égalité bien connue
k
n
k
= n
n − 1
k − 1
, donc m =
1
(n − 1)!
n−1
j=0
n − 1
j
d j . En utilisant la question
2), on en déduit que m = 1.
1.3.1 Structure des éléments inversibles de Z/nZ
Exercice 1.44
Polytechnique MP 2007 Ã
Soient G un groupe abélien, x et y deux éléments de G d’ordres respectifs p et
q. Démontrer qu’il existe un élément de G d’ordre PPCM( p, q).
A partir de la décomposition en facteurs premiers, on peut écrire p et q sous la forme
suivante : p = p
u 1
1 · · · p
u r
r p
a 1
1 · · · p
a j
j p
, q = p
u 1
1 · · · p
u r
r p
a j+1
j+1 · · · p
a r
r q
, où p 1 , . . . p r
sont des nombres premiers distincts, j r , p
et q
ne sont divisibles par aucun des
p i et sont premiers entre eux. Soit m le PPCM de p et q. Grâce à la décomposition
précédente, on a m = p
u 1 +a 1
1
· · · p
u j +a j
j
p
=a
p
u j+1 +a j+1
j+1
· · · p
u r +a r
r
q
=b
, donc m s’écrit ab,
avec a | p, b | q et a ∧ b = 1. Or x
p/a est d’ordre a et y
q/b est d’ordre b, et comme
a et b sont premiers entre eux, leur produit est d’ordre m d’après l’exercice 1.30
page 17.
Une troisième méthode consiste à poser, pour |x| < 1, f (x) =
∞
n=0
d n
n!
x
n
et à montrer à l’aide du produit de Cauchy que e
x f (x) =
1
1 − x
, d’où
f (x) =
e
−x
1 − x
. En refaisant le produit de Cauchy des deux séries entières
de somme e
−x et
1
1 − x
, on obtient par unicité des coefficients d’une série
entière :
d n
n!
=
n
k=0
(−1)
k
k!
.
3) Soit a n,k le nombre de permutations de S n ayant k points fixes. On a a n,k =
n
k
d n−k ,
car il s’agit de choisir les k points fixes parmi n puis de compter les dérangements des n − k éléments restants. Le nombre moyen de points fixes est donc
m =
1
n!
n
k=0
ka n,k =
1
(n − 1)!
n
k=1
n − 1
k − 1
d n−k en utilisant l’égalité bien connue
k
n
k
= n
n − 1
k − 1
, donc m =
1
(n − 1)!
n−1
j=0
n − 1
j
d j . En utilisant la question
2), on en déduit que m = 1.
1.3.1 Structure des éléments inversibles de Z/nZ
Exercice 1.44
Polytechnique MP 2007 Ã
Soient G un groupe abélien, x et y deux éléments de G d’ordres respectifs p et
q. Démontrer qu’il existe un élément de G d’ordre PPCM( p, q).
A partir de la décomposition en facteurs premiers, on peut écrire p et q sous la forme
suivante : p = p
u 1
1 · · · p
u r
r p
a 1
1 · · · p
a j
j p
, q = p
u 1
1 · · · p
u r
r p
a j+1
j+1 · · · p
a r
r q
, où p 1 , . . . p r
sont des nombres premiers distincts, j r , p
et q
ne sont divisibles par aucun des
p i et sont premiers entre eux. Soit m le PPCM de p et q. Grâce à la décomposition
précédente, on a m = p
u 1 +a 1
1
· · · p
u j +a j
j
p
=a
p
u j+1 +a j+1
j+1
· · · p
u r +a r
r
q
=b
, donc m s’écrit ab,
avec a | p, b | q et a ∧ b = 1. Or x
p/a est d’ordre a et y
q/b est d’ordre b, et comme
a et b sont premiers entre eux, leur produit est d’ordre m d’après l’exercice 1.30
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