partition de S n , ce qui donne en passant aux cardinaux que
n! =
0kn
n
k
d n−k =
0 jn
n
j
d j
en faisant le changement d’indice j = n−k (ne pas oublier que
n
j
=
n
n − j
).
• Pour calculer d n , on propose deux méthodes :
◦ On pose S = n!
n
k=0
(−1)
k
k!
=
n
k=0
(−1)
k
n
k
(n − k)!.
D’après le point précédent, S =
n
k=0
(−1)
k
n
k
n−k
j=0
n − k
j
d j .
On échange l’ordre des sommations : S =
n
j=0
n− j
k=0
(−1)
k
n
k
n − k
j
d j .
Le terme entre parenthèses vaut :
n!
j!
n− j
k=0
(−1)
k
k!(n − k − j)!
=
n
j
n− j
k=0
(−1)
k
n − j
k
.
Par formule du binôme,
m
p=0
(−1)
p
m
p
= (1 − 1)
m , donc le terme entre
parenthèses vaut 0 si j = n et 1 si j = n. Il reste finalement S = d n , ce qui
est la formule demandée.
On sait que
∞
k=0
(−1)
k
k!
=
1
e
, donc d n ∼
n→∞
n!
e
.
◦ Soient A et B les matrices carrées d’ordre n + 1 égales à
i
j
0i, jn
et
(−1)
i− j
i
j
0i, jn
, avec la convention
i
j
= 0 lorsque i < j,
de sorte que A et B sont triangulaires inférieures, la numérotation des
indices se faisant à partir de 0. On vérifie assez facilement que AB = I n+1
(par exemple en remarquant que A est la matrice dans la base canonique
de l’endomorphisme P(X ) → P(X + 1) de R n [X ] et B celle de son
inverse P(X ) → P(X − 1)). On introduit alors les vecteurs colonnes
X =
t
(d 0 , . . . , d n ) et Y =
t
(0!, . . . , n!). La formule précédente appliquée
pour chaque entier i de 0 à n se traduit par AX = Y , d’où X = BY . En
regardant le dernier coefficient de X , on obtient la formule demandée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
n! =
0kn
n
k
d n−k =
0 jn
n
j
d j
en faisant le changement d’indice j = n−k (ne pas oublier que
n
j
=
n
n − j
).
• Pour calculer d n , on propose deux méthodes :
◦ On pose S = n!
n
k=0
(−1)
k
k!
=
n
k=0
(−1)
k
n
k
(n − k)!.
D’après le point précédent, S =
n
k=0
(−1)
k
n
k
n−k
j=0
n − k
j
d j .
On échange l’ordre des sommations : S =
n
j=0
n− j
k=0
(−1)
k
n
k
n − k
j
d j .
Le terme entre parenthèses vaut :
n!
j!
n− j
k=0
(−1)
k
k!(n − k − j)!
=
n
j
n− j
k=0
(−1)
k
n − j
k
.
Par formule du binôme,
m
p=0
(−1)
p
m
p
= (1 − 1)
m , donc le terme entre
parenthèses vaut 0 si j = n et 1 si j = n. Il reste finalement S = d n , ce qui
est la formule demandée.
On sait que
∞
k=0
(−1)
k
k!
=
1
e
, donc d n ∼
n→∞
n!
e
.
◦ Soient A et B les matrices carrées d’ordre n + 1 égales à
i
j
0i, jn
et
(−1)
i− j
i
j
0i, jn
, avec la convention
i
j
= 0 lorsque i < j,
de sorte que A et B sont triangulaires inférieures, la numérotation des
indices se faisant à partir de 0. On vérifie assez facilement que AB = I n+1
(par exemple en remarquant que A est la matrice dans la base canonique
de l’endomorphisme P(X ) → P(X + 1) de R n [X ] et B celle de son
inverse P(X ) → P(X − 1)). On introduit alors les vecteurs colonnes
X =
t
(d 0 , . . . , d n ) et Y =
t
(0!, . . . , n!). La formule précédente appliquée
pour chaque entier i de 0 à n se traduit par AX = Y , d’où X = BY . En
regardant le dernier coefficient de X , on obtient la formule demandée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit