Exercice 1.48
ENS MP 2006 Ã
1) Décrire les sous-groupes de GL n (C) isomorphes à ((Z/2Z)
p , +), pour n et p
éléments de N
∗ .
2) Pour m = n, les groupes GL m (C) et GL n (C) sont-ils isomorphes ?
1) Soit G un tel sous-groupe. Les éléments de G sont de carré I n donc sont diagonalisables, et comme ils commutent, ils sont simultanément diagonalisables
(cf chapitre sur la réduction des endomorphismes). Par conséquent, il existe
P ∈ GL n (C) tel que pour tout A ∈ G, P
−1 AP = diag(´ 1 , . . . , ´ n ) avec pour
tout i , ´ i = ±1. Il y a exactement 2
n matrices diagonales contenant des coefficients 1 ou −1 sur la diagonale, or G est d’ordre 2
p , donc nécessairement
p n, et quitte à changer la matrice de passage P, on peut se ramener au cas où
G = {P diag(´ 1 , . . . , ´ p , 1 . . . , 1)P
−1
| ∀i ∈ [[1 , p]], ´ i = ±1}.
2) Si m < n, alors GL n (C) admet un sous-groupe isomorphe à ((Z/2Z)
n , +) tandis
que d’après la question précédente, GL m (C) n’en admet pas. Par symétrie entre m
et n, on en déduit que pour m = n, les groupes GL m (C) et GL n (C) ne sont pas
isomorphes.
Exercice 1.49
ENS MP 2006 ÃÃ
1) Caractériser les permutations s de S n telles qu’il existe s ∈ S n telle que
s ◦ s = s.
2) Caractériser les permutations s de S n telles qu’il existe une et une seule
s ∈ S n telle que s ◦ s = s.
3) Soit k 3 et s ∈ S n . Etudier l’équation s
k = s dans S n .
1) • Commençons par calculer le carré du cycle c = (i 1 , i 2 , . . . , i p ).
Si p est impair, alors c
2 est le cycle (i 1 , i 3 , . . . , i p , i 2 , . . . , i p−1 ) de même
longueur.
Si p est pair, alors c
2 = (i 1 , i 3 , . . . , i p−1 ) (i 2 , i 4 , . . . , i p ), qui est produit de deux
cycles disjoints de longueur p/2.
Inversement, les calculs précédents montrent que tout cycle de longueur
impaire est un carré, et qu’un produit de deux cycles disjoints de même
longueur est un carré.
• Soit s ∈ S n et c 1 . . . c p sa décomposition en cycles disjoints. On a alors
s
2 = c
2
1 . . . c
2
p .
Il en résulte que les éléments de S n qui sont des carrés sont donc ceux pour
lesquels leur décomposition en cycles disjoints contient, pour tout nombre pair
2k, un nombre pair de cycles de longueur 2k.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
ENS MP 2006 Ã
1) Décrire les sous-groupes de GL n (C) isomorphes à ((Z/2Z)
p , +), pour n et p
éléments de N
∗ .
2) Pour m = n, les groupes GL m (C) et GL n (C) sont-ils isomorphes ?
1) Soit G un tel sous-groupe. Les éléments de G sont de carré I n donc sont diagonalisables, et comme ils commutent, ils sont simultanément diagonalisables
(cf chapitre sur la réduction des endomorphismes). Par conséquent, il existe
P ∈ GL n (C) tel que pour tout A ∈ G, P
−1 AP = diag(´ 1 , . . . , ´ n ) avec pour
tout i , ´ i = ±1. Il y a exactement 2
n matrices diagonales contenant des coefficients 1 ou −1 sur la diagonale, or G est d’ordre 2
p , donc nécessairement
p n, et quitte à changer la matrice de passage P, on peut se ramener au cas où
G = {P diag(´ 1 , . . . , ´ p , 1 . . . , 1)P
−1
| ∀i ∈ [[1 , p]], ´ i = ±1}.
2) Si m < n, alors GL n (C) admet un sous-groupe isomorphe à ((Z/2Z)
n , +) tandis
que d’après la question précédente, GL m (C) n’en admet pas. Par symétrie entre m
et n, on en déduit que pour m = n, les groupes GL m (C) et GL n (C) ne sont pas
isomorphes.
Exercice 1.49
ENS MP 2006 ÃÃ
1) Caractériser les permutations s de S n telles qu’il existe s ∈ S n telle que
s ◦ s = s.
2) Caractériser les permutations s de S n telles qu’il existe une et une seule
s ∈ S n telle que s ◦ s = s.
3) Soit k 3 et s ∈ S n . Etudier l’équation s
k = s dans S n .
1) • Commençons par calculer le carré du cycle c = (i 1 , i 2 , . . . , i p ).
Si p est impair, alors c
2 est le cycle (i 1 , i 3 , . . . , i p , i 2 , . . . , i p−1 ) de même
longueur.
Si p est pair, alors c
2 = (i 1 , i 3 , . . . , i p−1 ) (i 2 , i 4 , . . . , i p ), qui est produit de deux
cycles disjoints de longueur p/2.
Inversement, les calculs précédents montrent que tout cycle de longueur
impaire est un carré, et qu’un produit de deux cycles disjoints de même
longueur est un carré.
• Soit s ∈ S n et c 1 . . . c p sa décomposition en cycles disjoints. On a alors
s
2 = c
2
1 . . . c
2
p .
Il en résulte que les éléments de S n qui sont des carrés sont donc ceux pour
lesquels leur décomposition en cycles disjoints contient, pour tout nombre pair
2k, un nombre pair de cycles de longueur 2k.
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