Exercice 13.27
Mines-Ponts MP 2006
Soit O le centre d’un cercle C de rayon R, soient A, B et C les sommets d’un
triangle inscrit dans ce cercle. Calculer l’aire maximale de ABC.
Indication pour une méthode géométrique : montrer que S = 2R
2 sin ˆ
A sin ˆ
B sin ˆ
C
puis utiliser la concavité de la fonction x → ln(sin x) sur ] 0, p [ .
On peut sans trop de difficulté montrer que pour A et B fixés, c’est un triangle isocèle
en C qui réalise l’aire maximale. On peut ensuite, en rapportant le plan à un repère
orthonormal, ramener la recherche de l’aire maximale des triangles isocèles inscrit
dans C à un problème de recherche de maximum d’une fonction d’une variable réelle.
Voici une autre méthode plus géométrique.
Soit S l’aire de ABC. On va chercher une relation liant S et R avec a = BC, b = AC
et c = AB les longueurs des côtés de ABC. On a la relation :
S =
1
2
ab
sin(
−→
C A,
−→
C B)
.
Pour faire apparaître r dans cette relation il est naturel de se tourner vers le théorème
de l’angle inscrit. On a (
− − →
O A,
− − →
O B) = 2(
−→
C A,
−→
C B) (2p). Par ailleurs le triangle O AB
est isocèle en O, deux de ses côtés étant de longueur R. En notant I le milieu du segment [ AB], on obtient un triangle I AO qui est rectangle en I , à partir des relations
trigonométriques dans un triangle rectangle, on obtient :
sin(
− − →
O A,
− →
O I )
=
AI
AO
=
c
2R
.
Par ailleurs, dans ce triangle I AO, l’angle au sommet O est égal à la moitié de
(
− − →
O A,
− →
O I ). On a donc :
(
− − →
O A,
− →
O I ) =
1
2
(
− − →
O A,
− − →
O B) = (
−→
C A,
−→
C B) (p).