13.5 Extrema
Remarquons que la division par 2 fait apparaître un modulo p. Ceci n’a d’effet que
sur le signe de sin(
− − →
O A,
− →
O I ), et on en déduit :
sin(
− − →
O A,
− →
O I )
=
sin(
−→
C A,
−→
C B)
= sin ˆ
C.
En reportant cette égalité dans les relations précédentes on obtient :
sin ˆ
C =
c
2R
.
On montre de la même manière les relations sin ˆ
A =
a
2R
et sin ˆ
B =
b
2R
. En
reportant les deux dernières relations dans l’expression de S proposée ci-dessus on
obtient :
S = 2R
2 sin ˆ
A sin ˆ
B sin ˆ
C.
(les angles géométriques ˆ
A, ˆ
B et ˆ
C sont dans ] 0, p [ ).
On vérifie sans peine que la fonction définie sur ] 0, p [ par x → ln(sin x) est à
dérivée seconde strictement négative donc strictement concave. On en déduit :
1
3
(ln(sin ˆ
A) + ln(sin ˆ
B) + ln(sin ˆ
C)) ln
sin
1
3
( ˆ
A + ˆ
B + ˆ
C)
,
avec égalité si et seulement si ˆ
A = ˆ
B = ˆ
C. Ce qui, en composant par la fonction
exponentielle, devient :
(sin ˆ
A sin ˆ
B sin ˆ
C)
1
3 sin
1
3
( ˆ
A + ˆ
B + ˆ
C)
.
On sait que ˆ
A + ˆ
B + ˆ
C = p. On déduit donc de l’inégalité précédente :
S 2R
2
sin
p
3
3
3
√
3
4
R
2 ,
avec égalité si et seulement si ˆ
A = ˆ
B = ˆ
C. On en déduit que le triangle d’aire
maximale inscrit dans un cercle est équilatéral et son aire vaut
3
√
3
4
R
2 .