13.5 Extrema
Voici une autre démarche plus directe. On a par l’inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique :
( pqrabc)
1
3
1
3
(ar + bq + cp)
et l’égalité ar + bq + cp = 2S nous donne
w(M) = pqr
8S
3
27abc
.
Nous avons égalité si et seulement si ar = bq = cp, c’est-à-dire si et seulement si
les aires des triangles AM B, B MC et AMC sont égales.
Grâce au lemme, nous allons montrer que ce majorant est un maximum atteint
lorsque M est le centre de gravité du triangle.
En effet, si les aires des triangles AM B, B MC et AMC sont égales, en ayant
choisi un triangle ABC direct (sinon on compose par une réflexion), alors
[
− − →
M B,
− − →
MC] = [
− − →
MC,
− − →
M A] = [
− − →
M A,
− − →
M B] > 0 donc M est l’isobarycentre de
ABC.
Conclusion : w est maximal lorsque M est le centre de gravité du triangle et vaut
alors
8S
3
27abc
.
Démonstration du lemme
Soit M un point du plan, on sait qu’il existe (a, b, g) ∈ R
3 de somme non
nulle, unique à un scalaire non nul multiplicatif près tel que M soit le barycentre
de {(A, a) , (B, b) , (C, g)} . Nous avons a
− − →
M A + b
− − →
M B + g
− − →
MC = 0. Ainsi, en
composant par
− − →
M A,·
,
− − →
M B,·
, et
− − →
MC,·
, il vient :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
b
− − →
M A,
− − →
M B
+ g
− − →
M A,
− − →
MC
= 0
a
− − →
M B,
− − →
M A
+ g
− − →
M B,
− − →
MC
= 0
a
− − →
MC,
− − →
M A
+ b
− − →
MC,
− − →
M B
= 0.
Au moins l’un des produit mixtes est non nul car le triangle est supposé non aplati,
par exemple
− − →
M A,
− − →
M B
= 0, il vient en posant l =
g
− − →
M A,
− − →
M B
,
a = l[
− − →
M B,
− − →
MC], b = l[
− − →
MC,
− − →
M A] et g = l[
− − →
M A,
− − →
M B].
On a l = 0 car sinon a = b = g = 0. On trouve bien que M est barycentre de
(A, [
− − →
M B,
− − →
MC]), (B, [
− − →
MC,
− − →
M A]), (C, [
− − →
M A,
− − →
M B])
.
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