Chap. 13. Compléments de géométrie
13.5 EXTREMA
Ce qu’il faut savoir
Inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Le cas n = 3
est assez couramment utilisé dans des problèmes d’extremum en géométrie.
Soit (a, b, c) ∈
R
+
3 , on a
3
√
abc
1
3
(a + b + c) avec égalité si et seulement si
a = b = c.
(on le prouve en utilisant la (stricte) concavité du logarithme).
Exercice 13.26
TPE PSI 2007, 2006
Soit ABC un triangle du plan affine euclidien. Déterminer les points M intérieurs à ABC tels que le produit des distances de M aux trois côtés de ABC soit
maximal.
Indication de la rédaction : pour donner une interprétation géométrique, on
pourra utiliser le lemme suivant :
Lemme : Soit ABC un triangle non aplati direct du plan affine euclidien orienté
alors tout point M est barycentre de
(A, [
− − →
M B,
− − →
MC]), (B, [
− − →
MC,
− − →
M A]), (C, [
− − →
M A,
− − →
M B])
où
u, v
désigne le produit mixte (c’est-à-dire le déterminant dans une base orthonormale directe).
La démonstration du lemme se trouve à la fin du corrigé.
Soit w la fonction du plan dans R qui à un point M associe w(M) le produit de ses
distances aux côtés de ABC. Soient a, b et c les longueurs des côtés du triangle
ABC, p, q et r les distances de M aux trois côtés de ABC comme sur la figure
suivante. On a w(M) = pqr.
Remarquons que comme M est intérieur au triangle, ar +bq +cp = 2S où S est l’aire
du triangle ABC, si bien que la relation r = (2S − bq + cp)/a montre qu’il s’agit
d’un problème d’extremum d’une fonction de deux variables ( p et q par exemple),
que l’on pourrait traiter classiquement en recherchant un point critique.
13.5 EXTREMA
Ce qu’il faut savoir
Inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Le cas n = 3
est assez couramment utilisé dans des problèmes d’extremum en géométrie.
Soit (a, b, c) ∈
R
+
3 , on a
3
√
abc
1
3
(a + b + c) avec égalité si et seulement si
a = b = c.
(on le prouve en utilisant la (stricte) concavité du logarithme).
Exercice 13.26
TPE PSI 2007, 2006
Soit ABC un triangle du plan affine euclidien. Déterminer les points M intérieurs à ABC tels que le produit des distances de M aux trois côtés de ABC soit
maximal.
Indication de la rédaction : pour donner une interprétation géométrique, on
pourra utiliser le lemme suivant :
Lemme : Soit ABC un triangle non aplati direct du plan affine euclidien orienté
alors tout point M est barycentre de
(A, [
− − →
M B,
− − →
MC]), (B, [
− − →
MC,
− − →
M A]), (C, [
− − →
M A,
− − →
M B])
où
u, v
désigne le produit mixte (c’est-à-dire le déterminant dans une base orthonormale directe).
La démonstration du lemme se trouve à la fin du corrigé.
Soit w la fonction du plan dans R qui à un point M associe w(M) le produit de ses
distances aux côtés de ABC. Soient a, b et c les longueurs des côtés du triangle
ABC, p, q et r les distances de M aux trois côtés de ABC comme sur la figure
suivante. On a w(M) = pqr.
Remarquons que comme M est intérieur au triangle, ar +bq +cp = 2S où S est l’aire
du triangle ABC, si bien que la relation r = (2S − bq + cp)/a montre qu’il s’agit
d’un problème d’extremum d’une fonction de deux variables ( p et q par exemple),
que l’on pourrait traiter classiquement en recherchant un point critique.