13.4 Lieux géométriques
Une équation de la droite D est x cos u + y sin u = 1 avec u ∈] − p, p].
Pour u ∈] − p, p[\
−
p
2
, 0,
p
2
, D coupe (Ox) en A
1
cos u
, 0
et (Oy) en
B
0,
1
sin u
, d’où les coordonnées du point C
1
cos u
,
1
sin u
.
On peut remarquer dès à présent que le lieu des points est invariant par une rotation d’angle
p
2
et que l’on peut limiter l’étude à u variant sur l’un des intervalles
équivalents
0,
p
2
ou
p
2
, p
,
−
p
2
, 0
,
−p, −
p
2
.
La parallèle à D passant par O admet pour équation x cos u + y sin u = 0 et la perpendiculaire à D passant par C, −x sin u + y cos u = −
1
cos u
× sin u +
1
sin u
× cos u.
On résout alors le système (avec les formules de Cramer)
x cos u + y sin u = 0
−x sin u + y cos u = −
sin u
cos u
+
cos u
sin u
pour obtenir M
−
cos 2u
cos u
,
cos 2u
sin u
et on peut se contenter d’étudier cette courbe
paramétrée sur
0,
p
2
pour en déduire le lieu (par rotation ou symétrie).
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