Enfin, notons A le projeté orthogonal de M sur la droite (P Q). Déterminer le
lieu des points A lorsque M décrit le cercle C.
Par une similitude, ramenons-nous au cas où C est le cercle unité et D et D sont
les axes (Ox) et (Oy). Le point M a pour coordonnées (cos u, sin u) et P(cos u, 0),
Q(0, sin u). La droite (P Q) admet pour équation :
x − cos u − cos u
y
sin u
= 0 ⇔ x sin u + y cos u = sin u cos u.
Le projeté A est le point d’intersection de la droite (P Q) et de la perpendiculaire à
la droite (P Q) passant par M, d’équation
−x cos u + y sin u = − cos u × cos u + sin u × sin u = sin
2 u − cos
2 u.
On détermine facilement les coordonnées de A avec les formules de Cramer et on
obtient A
cos
3 u, sin
3 u
. La courbe obtenue est appelée une astroïde.
Exercice 13.25
Centrale PC 2005
Soient D une droite mobile distante de 1 de l’origine, A, B les intersections de D
avec (Ox) et (Oy) respectivement, C tel que O AC B soit un rectangle.
Déterminer le lieu des points M intersection de la parallèle à D passant par O et
de la perpendiculaire à D passant par C