Exercice 13.23
Centrale PC 2005
Soit A
1
1
un point du plan affine euclidien. Un repère orthonormal tournant
d’origine A coupe les axes (Ox) et (Oy) en M et N .
Étudier le lieu géométrique décrit par P, projeté de l’origine O sur la droite
(M N ).
Posons → u u = cos u
→
i + sin u
→
j et → v u = − sin u
→
i + cos u
→
j . Notons (AX) et (AY ) les
axes du repère tournant ( A, → u u , → v u ). On ne perdra pas de points en considérant que
M est le point d’intersection de (Ox) avec (AY ) et N le point d’intersection de (Oy)
avec ( AX).
Notons que pour que M et N existent, il faut que u /
∈
p
2
+ pZ. On obtiendra tous les
points P en faisant varier u sur
−
p
2
,
p
2
(un intervalle de longueur p suffit).
Une équation de (AX) dans le repère d’origine (O,, ı, , j) est
−x sin u + y cos u = − sin u + cos u,
car A a pour coordonnées (1, 1). De même
( AY ) : x cos u + y sin u = cos u + sin u.
Ainsi les coordonnées des points M et N sont M
cos u + sin u
cos u
, 0
= (1 + tan u, 0)
et N
0,
cos u − sin u
cos u
= (0, 1 − tan u).
Considérons le triangle rectangle O M N et calculons son aire de deux manières différentes. On obtient :
N M × O P = O N × O M = (1 + tan u) × (1 − tan u) = 1 − tan
2 u =
cos 2u
cos 2 u
.
D’autre part, on a :
N M =
√
O M 2 + O N 2 =
√
2
1 + tan 2 u =
√
2
cos u
.
On obtient finalement,
O P =
√
2 cos 2u
2 cos u
.
Comme l’angle ( ı,
− − →
O P) mesure u +
p
4
(2p) (voir figure, on remarque au passage que
le triangle AMN est isocèle rectangle en A), on se place dans le repère (O, − →
u p
4
, − →
v p
4
)
(ainsi (O, − →
u p
4
) est un axe de symétrie).