13.4 Lieux géométriques
Le lieu des points M(x, y, z) équidistants de D et D
est défini par l’équation
suivante :
− − →
AM ∧ → u
→ u
=
− − →
AM ∧
→
u
→
u
⇔
⎛
⎝
−m(z − a)
z − a
mx − y
⎞
⎠
2
=
⎛
⎝
m(z + a)
z + a
−mx − y
⎞
⎠
2
⇔ (m
2 + 1)az + mx y = 0.
On obtient donc la quadrique d’équation z =
am
m 2 + 1
x y.
Il s’agit d’un paraboloïde hyperbolique (en forme de selle de cheval).
(en tournant les axes (Ox) et (Oy) autour de (Oz) d’un angle de
p
4
, on a les
relations x =
1
√
2
(X − Y ) et y =
1
√
2
(X + Y ), z = Z , il vient dans le nouveau
repère, Z =
am
2(m 2 + 1)
X
2
− Y
2
, le paraboloïde est « équilatère »).
Ce qu’il faut savoir
Quelques formules sur les distances
On se place dans l’espace affine euclidien orienté de dimension 3.
• Distance d’un point à une droite D définie par un point A et un vecteur directeur → u :
d(M, D) =
→ u ∧
− − →
AM
→ u
.
• Distance d’un point à un plan P d’équation ax + by + cz + d = 0 :
d(M, P) =
|ax M + by M + cz M + d|
√
a 2 + b 2 + c 2
.
• Distance entre deux droites non coplanaires D et D
, perpendiculaire commune.
Soient D = D(A, → u ) et D
= D( A
,
→
u
) deux droites non coplanaires. Posons
→ n = → u ∧
→
u
. On obtient un système d’équations définissant la perpendiculaire
commune D à D et D
en écrivant D = P( A, → u , − → n ) ∩ P(A
,
→
u
, → n ).
La distance entre D et D
s’obtient directement par la formule
d(D, D
) =
det(
→ u ,
→
u
,
− − →
A A
)
→ u ∧
→
u
=
→ u ,
→
u
,
− − →
A A
→ u ∧
→
u
.
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