Chap. 13. Compléments de géométrie
remplaçant w par −ux − vy, a
2 u
2 + bv
2 = u
2 x
2 + v
2 y
2 + 2x yuv ce qui s’écrit
également u
2 (x
2
− a
2 ) + 2x yuv + v
2 (y
2
− b
2 ) = 0.
Supposons x
2
= a
2 et cherchons un u solution avec v = 1 (on sait que si (u, v)
est solution (lu, lv) avec l ∈ R
∗ est également solution). On a un trinôme en u
de discriminant 4[(x y)
2 + (x
2
− a
2 )
2 ] > 0 (car x
2 + y
2 = a
2 + b
2 ) donc u existe et
(u, v) = (u, 1) est solution à notre problème.
Le cas particulier où x ∈ {−a, a} se traite de même en inversant le rôle de u et v,
on cherche v en imposant par exemple u = 1.
En conclusion, le lieu recherché, appelé courbe orthoptique de l’ellipse, est le
cercle de centre O et de rayon
√
a 2 + b 2 .
Exercice 13.22
Centrale PC 2007
On se place dans un espace affine euclidien de dimension 3. On se donne deux
droites D et D
non coplanaires.
1) Montrer que l’on peut construire un repère orthonormal (O,, ı, , j, k) tel que D
et D
aient pour système d’équations :
D :
y = mx
z = a
et D
:
y = −mx
z = −a
(avec a = 0 et m = 0).
2) Déterminer le lieu des points équidistants de D et D
.
1) Considérons D la perpendiculaire commune à D et D
. Soient {H } = D ∩ D et
{H
} = D
∩ D.
Prenons comme origine du repère, O le milieu de [H H
] et comme vecteur k un
vecteur directeur unitaire de D.
Soient → u et
→
u
des vecteurs directeurs unitaires de D et D
. On choisit alors pour
vecteurs ı et j, des vecteurs directeurs unitaires des bissectrices de
→
D = R → u et
− →
D
= R
→
u
, par exemple,
ı =
1
→ u +
→
u
→ u +
→
u
et j =
1
→ u −
→
u
→ u −
→
u
.
Le repère orthonormal (O,, ı, , j, k) obtenu répond alors à la question.
2) Rappelons que si D est définie par un point A et un vecteur directeur − →
u D , alors
d(M, D) =
− − →
AM ∧ − →
u D
− →
u D
.
Ici A(0, 0, a) et → u (1, m, 0) définissent D. De même, A
(0, 0, −a) et
→
u
(1, −m, 0)
définissent D
.
remplaçant w par −ux − vy, a
2 u
2 + bv
2 = u
2 x
2 + v
2 y
2 + 2x yuv ce qui s’écrit
également u
2 (x
2
− a
2 ) + 2x yuv + v
2 (y
2
− b
2 ) = 0.
Supposons x
2
= a
2 et cherchons un u solution avec v = 1 (on sait que si (u, v)
est solution (lu, lv) avec l ∈ R
∗ est également solution). On a un trinôme en u
de discriminant 4[(x y)
2 + (x
2
− a
2 )
2 ] > 0 (car x
2 + y
2 = a
2 + b
2 ) donc u existe et
(u, v) = (u, 1) est solution à notre problème.
Le cas particulier où x ∈ {−a, a} se traite de même en inversant le rôle de u et v,
on cherche v en imposant par exemple u = 1.
En conclusion, le lieu recherché, appelé courbe orthoptique de l’ellipse, est le
cercle de centre O et de rayon
√
a 2 + b 2 .
Exercice 13.22
Centrale PC 2007
On se place dans un espace affine euclidien de dimension 3. On se donne deux
droites D et D
non coplanaires.
1) Montrer que l’on peut construire un repère orthonormal (O,, ı, , j, k) tel que D
et D
aient pour système d’équations :
D :
y = mx
z = a
et D
:
y = −mx
z = −a
(avec a = 0 et m = 0).
2) Déterminer le lieu des points équidistants de D et D
.
1) Considérons D la perpendiculaire commune à D et D
. Soient {H } = D ∩ D et
{H
} = D
∩ D.
Prenons comme origine du repère, O le milieu de [H H
] et comme vecteur k un
vecteur directeur unitaire de D.
Soient → u et
→
u
des vecteurs directeurs unitaires de D et D
. On choisit alors pour
vecteurs ı et j, des vecteurs directeurs unitaires des bissectrices de
→
D = R → u et
− →
D
= R
→
u
, par exemple,
ı =
1
→ u +
→
u
→ u +
→
u
et j =
1
→ u −
→
u
→ u −
→
u
.
Le repère orthonormal (O,, ı, , j, k) obtenu répond alors à la question.
2) Rappelons que si D est définie par un point A et un vecteur directeur − →
u D , alors
d(M, D) =
− − →
AM ∧ − →
u D
− →
u D
.
Ici A(0, 0, a) et → u (1, m, 0) définissent D. De même, A
(0, 0, −a) et
→
u
(1, −m, 0)
définissent D
.