13.4 Lieux géométriques
1) En un point M(x 0 , y 0 ) ∈ E, une équation de la tangente à E est
x x 0
a 2 +
yy 0
b 2 = 1. On
sait qu’une équation de droite dans le plan est unique à un coefficient multiplicatif
non nul près.
• Supposons que la droite d’équation ux + vy + w = 0 soit tangente à l’ellipse en un point (x 0 , y 0 ). La tangente en (x 0 , y 0 ) admet également pour équation
x x 0
a 2 +
yy 0
b 2 = 1 donc il existe l ∈ R tel que
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u = l
x 0
a 2
v = l
y 0
b 2
w = −l
. Remarquons que l = 0
et donc w = 0 car (u, v) = (0, 0). Il en résulte que
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 0 =
a
2 u
l
y 0 =
b
2
v
l
l = −w
. Puis, en utilisant la relation
x
2
0
a
2
+
y
2
0
b
2
= 1, on obtient l’égalité
1
a 2
a
2 u
−w
2
+
1
b 2
b
2
v
−w
2
= 1
qui peut s’écrire a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 .
• Réciproquement, supposons que a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 . Comme (u, v) = (0, 0), on
a w = 0. Posons alors l = −w, x 0 =
a
2 u
l
et y 0 =
b
2
v
l
.
Notre hypothèse nous montre que
x
2
0
a
2
+
y
2
0
b
2
= 1, et donc (x 0 , y 0 ) est un point de
l’ellipse. Comme on peut réécrire les relations sous la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u = l
x 0
a 2
v = l
y 0
b 2
w = −l
, on en
déduit que la droite d’équation ux + vy + w = 0 est tangente à l’ellipse au point
(x 0 , y 0 ).
2) • Supposons que M(x, y) est un point d’intersection de deux tangentes à
l’ellipse D : ux + vy + w = 0 et D
: −vx + uy + w
= 0. Nous avons
a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 = (ux + vy)
2 (1) et a
2
v
2 + b
2 u
2 = w
2 = (−vx + uy)
2 (2). La
somme (1) + (2) nous donne
a
2 + b
2
(u
2 + v
2 ) =
x
2 + y
2
(u
2 + v
2 ). Comme
(u, v) = (0, 0), on en déduit que x
2 + y
2 = a
2 + b
2 , le point M est sur le cercle de
centre O et de rayon
√
a 2 + b 2 .
• Réciproquement, donnons-nous un point M(x, y) vérifiant x
2 + y
2 = a
2 + b
2 .
Montrons qu’il existe (u, v) = (0, 0) tel que a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 (3) et
a
2
v
2 + b
2 u
2 = w
2 (4) avec w = −ux − vy et w
= vx − uy. On aura
ainsi montré que M est point d’intersection de deux tangentes orthogonales
D : ux + vy + w = 0 et D
: −vx + uy + w
= 0. La relation (3) peut s’écrire en
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
1) En un point M(x 0 , y 0 ) ∈ E, une équation de la tangente à E est
x x 0
a 2 +
yy 0
b 2 = 1. On
sait qu’une équation de droite dans le plan est unique à un coefficient multiplicatif
non nul près.
• Supposons que la droite d’équation ux + vy + w = 0 soit tangente à l’ellipse en un point (x 0 , y 0 ). La tangente en (x 0 , y 0 ) admet également pour équation
x x 0
a 2 +
yy 0
b 2 = 1 donc il existe l ∈ R tel que
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u = l
x 0
a 2
v = l
y 0
b 2
w = −l
. Remarquons que l = 0
et donc w = 0 car (u, v) = (0, 0). Il en résulte que
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 0 =
a
2 u
l
y 0 =
b
2
v
l
l = −w
. Puis, en utilisant la relation
x
2
0
a
2
+
y
2
0
b
2
= 1, on obtient l’égalité
1
a 2
a
2 u
−w
2
+
1
b 2
b
2
v
−w
2
= 1
qui peut s’écrire a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 .
• Réciproquement, supposons que a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 . Comme (u, v) = (0, 0), on
a w = 0. Posons alors l = −w, x 0 =
a
2 u
l
et y 0 =
b
2
v
l
.
Notre hypothèse nous montre que
x
2
0
a
2
+
y
2
0
b
2
= 1, et donc (x 0 , y 0 ) est un point de
l’ellipse. Comme on peut réécrire les relations sous la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u = l
x 0
a 2
v = l
y 0
b 2
w = −l
, on en
déduit que la droite d’équation ux + vy + w = 0 est tangente à l’ellipse au point
(x 0 , y 0 ).
2) • Supposons que M(x, y) est un point d’intersection de deux tangentes à
l’ellipse D : ux + vy + w = 0 et D
: −vx + uy + w
= 0. Nous avons
a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 = (ux + vy)
2 (1) et a
2
v
2 + b
2 u
2 = w
2 = (−vx + uy)
2 (2). La
somme (1) + (2) nous donne
a
2 + b
2
(u
2 + v
2 ) =
x
2 + y
2
(u
2 + v
2 ). Comme
(u, v) = (0, 0), on en déduit que x
2 + y
2 = a
2 + b
2 , le point M est sur le cercle de
centre O et de rayon
√
a 2 + b 2 .
• Réciproquement, donnons-nous un point M(x, y) vérifiant x
2 + y
2 = a
2 + b
2 .
Montrons qu’il existe (u, v) = (0, 0) tel que a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 (3) et
a
2
v
2 + b
2 u
2 = w
2 (4) avec w = −ux − vy et w
= vx − uy. On aura
ainsi montré que M est point d’intersection de deux tangentes orthogonales
D : ux + vy + w = 0 et D
: −vx + uy + w
= 0. La relation (3) peut s’écrire en
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit