Exercice 13.20
Polytechnique MP 2007
Donner une condition nécessaire pour que deux rotations de R
3 commutent.
Écartons d’emblée le cas particulier où l’une des rotations est l’identité.
Soient r 1 et r 2 deux rotations distinctes de Id telles que r 1 ◦ r 2 = r 2 ◦ r 1 .
Soit Ru 1 l’axe de r 1 . C’est l’espace propre associé à la valeur propre 1. Comme r 1
et r 2 commutent, cet espace propre est stable par r 2 , et comme c’est une droite, cela
signifie que u 1 est un vecteur propre de r 2 . La rotation r 2 n’a pas d’autre valeur propre
que 1 ou −1 (auquel cas r 2 est un retournement) donc soit Ru 1 est l’axe de r 2 soit u 1
est orthogonal à l’axe de r 2 et r 2 est un retournement.
Examinons ce cas particulier, dans une base B orthonormale directe adaptée,
mat(r 1 , B) =
⎛
⎝
1
0
0
0 cosu − sin u
0 sinu cos u
⎞
⎠ et mat(r 2 , B) =
⎛
⎝
−1 0
0
0 1
0
0 0 −1
⎞
⎠
On voit alors que r 1 ◦ r 2 = r 2 ◦ r 1 s’écrit
cos u
sin u
sin u − cos u
=
cos u − sin u
− sin u − cos u
⇔ sin u = 0 ⇔ u ∈ pZ.
Il en résulte que r 1 est soit l’identité (exclue par hypothèse) soit un retournement
également.
En résumé, soit les deux rotations (supposées distinctes de Id) ont même axe, soit les
deux rotations sont des retournements avec des axes orthogonaux.
Remarquons que cette condition nécessaire est également suffisante.
13.4 LIEUX GÉOMÉTRIQUES
Exercice 13.21
Centrale PC 2007
On se place dans le plan affine euclidien R
2 muni d’un repère orthonormé. Soit
E l’ellipse d’équation
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
1) Montrer que la droite d’équation ux + vy + w = 0 est tangente à l’ellipse E si
et seulement si a
2 u
2 + b
2
v
2 = w
2 .
2) Trouver le lieu des points d’intersection des tangentes à E orthogonales entre
elles.