13.3 Isométries vectorielles et affines en dimension 3
Pour simplifier la rédaction, raisonnons par implication.
• Si M est la matrice d’une rotation, alors ses vecteurs colonnes forment une base
orthonormale directe de R
3 , donc
⎛
⎝
⎛
⎝
a
c
b
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
b
a
c
⎞
⎠
⎞
⎠ est une famille orthonormale et
⎛
⎝
c
b
a
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a
c
b
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
b
a
c
⎞
⎠ .
On en déduit les égalités a
2 + b
2 + c
2 = 1, ab + bc + ca = 0, ainsi que a
2
− bc = a,
b
2
− ca = b, c
2
− ab = c.
Il vient a
2 + b
2 + c
2 = a + b + c + ab + bc + ca = a + b + c donc a + b + c = 1.
Notons S = a + b + c = 1 , T = ab + bc + ca = 0 et t = −abc.
On sait que a , b et c sont les solutions de l’équation x
3
− Sx
2 + T x + t = 0 (car
(x − a)(x − b)(x − c) = x
3
− Sx
2 + T x + t) d’où a , b et c sont les trois racines réelles
d’un polynôme X
3
− X
2 + t où t ∈ R.
Notons f (x) = x
3
− x
2 + t et calculons f
(x) = 3x
2
− 2x = x (3x − 2). Ceci nous
permet de dresser le tableau de variations suivant :
x
−∞
0
2
3
+∞
f
(x)
+
−
+
t
+∞
f (x)
−∞
f (
2
3 )
Pour que f admette trois racines réelles (éventuellement confondues), il faut et il
suffit que f
2
3
0 t ce qui équivaut à t ∈
0,
4
27
.
• Réciproquement, soient t ∈
0,
4
27
et a, b et c les trois racines du polynôme
X
3
− X
2 + t. Nous savons que S = a + b + c = 1 et T = ab + bc + ca = 0.
On calcule alors : S
2 = a
2 + b
2 + c
2 + 2 (ab + bc + ca) = 1, d’où a
2 + b
2 + c
2 = 1.
Enfin, a
2
− a = a(a − 1) = −a(b + c) = −ab − ac = bc
De même, b
2
− b = ca et c
2
− c = ab.
Ces relations montrent que
⎛
⎝
⎛
⎝
a
c
b
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
b
a
c
⎞
⎠
⎞
⎠ est une famille orthonormale et
⎛
⎝
c
b
a
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a
c
b
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
b
a
c
⎞
⎠ donc les colonnes de M forment une base orthonormale directe, et M est bien la matrice d’une rotation.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Pour simplifier la rédaction, raisonnons par implication.
• Si M est la matrice d’une rotation, alors ses vecteurs colonnes forment une base
orthonormale directe de R
3 , donc
⎛
⎝
⎛
⎝
a
c
b
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
b
a
c
⎞
⎠
⎞
⎠ est une famille orthonormale et
⎛
⎝
c
b
a
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a
c
b
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
b
a
c
⎞
⎠ .
On en déduit les égalités a
2 + b
2 + c
2 = 1, ab + bc + ca = 0, ainsi que a
2
− bc = a,
b
2
− ca = b, c
2
− ab = c.
Il vient a
2 + b
2 + c
2 = a + b + c + ab + bc + ca = a + b + c donc a + b + c = 1.
Notons S = a + b + c = 1 , T = ab + bc + ca = 0 et t = −abc.
On sait que a , b et c sont les solutions de l’équation x
3
− Sx
2 + T x + t = 0 (car
(x − a)(x − b)(x − c) = x
3
− Sx
2 + T x + t) d’où a , b et c sont les trois racines réelles
d’un polynôme X
3
− X
2 + t où t ∈ R.
Notons f (x) = x
3
− x
2 + t et calculons f
(x) = 3x
2
− 2x = x (3x − 2). Ceci nous
permet de dresser le tableau de variations suivant :
x
−∞
0
2
3
+∞
f
(x)
+
−
+
t
+∞
f (x)
−∞
f (
2
3 )
Pour que f admette trois racines réelles (éventuellement confondues), il faut et il
suffit que f
2
3
0 t ce qui équivaut à t ∈
0,
4
27
.
• Réciproquement, soient t ∈
0,
4
27
et a, b et c les trois racines du polynôme
X
3
− X
2 + t. Nous savons que S = a + b + c = 1 et T = ab + bc + ca = 0.
On calcule alors : S
2 = a
2 + b
2 + c
2 + 2 (ab + bc + ca) = 1, d’où a
2 + b
2 + c
2 = 1.
Enfin, a
2
− a = a(a − 1) = −a(b + c) = −ab − ac = bc
De même, b
2
− b = ca et c
2
− c = ab.
Ces relations montrent que
⎛
⎝
⎛
⎝
a
c
b
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
b
a
c
⎞
⎠
⎞
⎠ est une famille orthonormale et
⎛
⎝
c
b
a
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a
c
b
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
b
a
c
⎞
⎠ donc les colonnes de M forment une base orthonormale directe, et M est bien la matrice d’une rotation.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit