Chap. 13. Compléments de géométrie
Comme lim
n→+∞
(v 2n+1 (x) − v 2n (x)) = lim
n→+∞
u
2n+1
(2n + 1)!
(−1)
n
u 1
= 0, on a
lim
n→+∞
v n (x) = u 0 + (1 − cos u)u 2 + sin uu 1
= x + (1 − cos u) (< v, x > v − x) + sin u (v ∧ x)
= cos(u)x + (1 − cos u) < v, x > v + sin(u)(v ∧ x)
= R(x).
Conclusion : la série vectorielle
u
k
k!
u k converge, sa somme
+∞
k=0
u
k
k!
u k est R(x).
Exercice 13.18
Mines-Ponts MP 2007
Caractériser s ◦ r ◦ s où r et s sont respectivement une rotation et une réflexion
de R
3 vectoriel euclidien.
Nous savons que s ◦ r ◦ s est un automorphisme orthogonal et nous avons :
det (s ◦ r ◦ s) = (det s)
2 det r = 1 donc s ◦ r ◦ s est une rotation. Soit u vecteur
directeur de l’axe de r et u ∈] − p, p] un angle de r orienté par u. Comme
(s ◦ r ◦ s) (s(u)) = s(r (u)) = s(u),
l’endomorphisme s ◦ r ◦ s est une rotation d’axe Rs(u). Déterminons son angle
u
∈] − p, p] en ayant orienté l’axe par s(u). Puisque
1 + 2 cos u
= tr (s ◦ r ◦ s) = tr (r ◦ s ◦ s) = tr r = 1 + 2 cos u,
on obtient u = u
(2p) ou u = −u
(2p).
Soit x ∈ R
3
\ Rs(u). On sait que sgn(sin u
) = sgn [x, s ◦ r ◦ s(x), s(u)] . Or
[s(x), s (s ◦ r ◦ s(x)) , s (s(u))] = det s × [x, s ◦ r ◦ s(x), s(u)]
[s(x), r ◦ s(x), u] = − [x, s ◦ r ◦ s(x), s(u)] .
Remarquons que x /
∈ Rs(u) ⇔ s(x) /
∈ Ru donc sgn [s(x), r ◦ s(x), u] = sgn (sin u).
Ainsi sgn sin u
= − sgn (sin u) .
Conclusion : s ◦ r ◦ s est la rotation d’axe Rs(u) (orienté par s(u)) et d’angle −u.
Exercice 13.19
Mines-Ponts MP 2007, Polytechnique MP 2007
Montrer que M =
⎡
⎣
a b c
c a b
b c a
⎤
⎦ est la matrice d’une rotation si, et seulement
si, il existe t ∈
0,
4
27
tel que a, b et c sont les trois racines du polynôme
X
3
− X
2 + t .