13.3 Isométries vectorielles et affines en dimension 3
1) Si x est orthogonal à v, alors on sait que R(x) = cos(u)x + sin(u)(v ∧ x) donc la
formule de l’énoncé est vraie puisque < v, x >= 0.
Si x est colinéaire à v alors R(x) = x et on remarque que
cos(u)x + sin(u)(v ∧ x
=0
) + (1 − cos u)< v, x > v
=x
= cos(u)x + (1 − cos u)x = x.
La formule de l’énoncé est vraie pour de tels x. On conclut en disant que R et
l’application x → cos(u)x +sin(u)(v∧x)+(1−cos u) < v, x > v sont deux endomorphismes de R
3 qui coïncident sur deux sous-espaces supplémentaires (Rv et
(Rv)
⊥ ) donc sont égaux sur R
3 .
2) Rappelons la formule du double produit vectoriel :
u ∧ (v ∧ w) =< u, w > v− < u, v > w.
Soit w l’application définie par x ∈ R
3
→ v ∧ x. Pour tout x ∈ R
3 , on a :
w(w(x)) = v ∧ (v ∧ x) =< v, x > v − −v
2
=1
x = − (x − p v (x)) = − p v ⊥ (x),
d’où w ◦ w = − p v ⊥ . Calculons également w ◦ w ◦ w. On a, pour tout x ∈ R
3 ,
(w ◦ w ◦ w) (x) = w (− p v ⊥ (x))
= v ∧ (< v, x > v − x) = −v ∧ x = −w(x)
Il en découle que pour n ∈ N
∗ , u 2n = w
2n (x) = (−1)
n p v ⊥ (x) = (−1)
n+1 u 2 car
( p v ⊥ )
2 = p v ⊥ et
u 2n+1 = w
2n+1 (x) = (−1)
n p v ⊥ (w(x)) = (−1)
n+1 (−w(x)) = (−1)
n u 1 ,
cette dernière formule s’étend à n = 0 (mais pas la précédente).
3) Pour tout x ∈ R
3 ,
v 2n+1 (x) =
2n+1
k=0
u
k
k!
u k = u 0 +
n
p=1
u
2 p
(2 p)!
u 2 p +
n
p=0
u
2 p+1
(2 p + 1)!
u 2 p+1
= u 0 +
⎛
⎝
n
p=1
u
2 p
(2 p)!
(−1)
p+1
⎞
⎠
→
n→+∞
−(cos u−1)
u 2 +
⎛
⎝
n
p=0
u
2 p+1
(2 p + 1)!
(−1)
p
⎞
⎠
→
n→+∞
sin u
u 1 ,
d’où lim
n→+∞
v 2n+1 (x) = u 0 + (1 − cos u)u 2 + sin uu 1 .
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