Exercice 13.16
Polytechnique PC 2005
Soit → n = (a, b, c) un vecteur unitaire de l’espace vectoriel euclidien R
3 . Caractériser l’endomorphisme associé à la matrice A =
⎛
⎝
b
2 + c
2
−ab
−ac
−ab a
2 + c
2
−bc
−ac
−bc a
2 + b
2
⎞
⎠ .
• On remarque que la matrice A est orthogonale et symétrique. De plus, on a
tr(A) = 2(a
2 + b
2 + c
2 ) = 2, donc A est la matrice d’une réflexion (symétrie
orthogonale par rapport à un plan). Cherchons le sous-espace propre E 1 (A). Soit
X =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ .
AX = X ⇔
⎧
⎨
⎩
−a
2 x − aby − acz = 0
−abx − b
2 y − bcz = 0
−acx − bcy − c
2 z = 0
⇔
⎧
⎨
⎩
a (ax + by + cz) = 0
b (ax + by + cz) = 0
c (ax + by + cz) = 0
⇔ ax + by + cz = 0 (car l’une des coordonnées a,b ou c est non nulle).
La matrice A est donc la matrice de la projection orthogonale sur le plan
{M(x, y, z) | ax + by + cz = 0}.
• Voici une seconde résolution de l’exercice plus astucieuse.
Remarquons que A = I 3 − J où J = (x i x j ), en notant (a, b, c) = (x 1 , x 2 , x 3 ). La
matrice J est la matrice de la projection orthogonale sur R → n . En effet, J =
t → n → n
et donc J → x =< → n , → x > → n . On retrouve que la matrice A est donc la matrice de
la projection orthogonale sur le plan orthogonal à → n , c’est-à-dire
{M(x, y, z) | ax + by + cz = 0}.
Exercice 13.17
TPE PC 2006
On considère l’espace vectoriel euclidien R
3 . Soit R une rotation d’angle u et de
vecteur directeur unitaire v. Soit x ∈ E.
1) Montrer que R(x) = cos(u)x + sin(u)(v ∧ x) + (1 − cos u) < v, x > v.
2) On pose u 0 = x et on définit la suite (u n ) n∈N par u n+1 = v ∧ u n .
Calculer u 2n et u 2n+1 pour tout n ∈ N.
3) On pose v n =
n
k=0
u
k
k!
u k . Calculer lim
n→∞
v n .