13.3 Isométries vectorielles et affines en dimension 3
Le point A(−2, 0, 0) appartient à Q, donc si M
= s Q (M), alors
−−→
AM
= − →
s Q
− − →
AM
⎛
⎝
x
+ 2
y
z
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0 −1 0
−1
0 0
0
0 1
⎞
⎠
⎛
⎝
x + 2
y
z
⎞
⎠ ;
d’où
⎧
⎨
⎩
x
= −y − 2
y
= −x − 2
z
= z
.
2) Les plans P et Q se coupent suivant la droite (AB) avec A(−2, 0, 0) et
B(0, −2, 0). On sait que la composée de deux réflexions est une rotation d’axe
l’intersection des deux plans, ici ( AB), et d’angle le double de l’angle formé par
les deux plans P et Q. Ici les deux plans sont perpendiculaires donc l’angle vaut
p et la rotation est un retournement. L’ordre dans lequel on considère les plans
P et Q dans le raisonnement géométrique n’intervenant pas (−p = p (2p)), la
composée s Q ◦ s P nous donne le même retournement.
On peut aussi prouver que s P ◦ s Q est un retournement en écrivant
mat( − →
s P , B) × mat( − →
s Q , B) =
⎛
⎝
1 0
0
0 1
0
0 0 −1
⎞
⎠
⎛
⎝
0 −1 0
−1
0 0
0
0 1
⎞
⎠
=
⎛
⎝
0 −1
0
−1
0
0
0
0 −1
⎞
⎠ .
Cette matrice est la matrice d’une rotation, sa trace valant −1 = 1 + 2 cos u, d’où
cos u = −1, et donc u = p (2p). Il s’agit d’un retournement. La partie linéaire
de s P ◦ s Q , qu’on note →
s P ◦ − →
s Q , est un retournement. D’autre part, il est immédiat
que tout point de P ∩ Q =(AB) est invariant par s P ◦ s Q , et donc s P ◦ s Q est le
retournement d’axe (AB).
Remarque
En général s P ◦ s Q = s Q ◦ s P . Les réflexions commutent ici car les plans P
et Q sont perpendiculaires. Cependant, on retiendra que si P et Q ne sont pas
parallèles, alors s P ◦ s Q est une rotation d’axe P ∩ Q dont on peut déterminer
l’angle en orientant l’axe et en se plaçant sur un plan perpendiculaire à l’axe (on
se ramène au cas du plan, où le produit de deux réflexions est une rotation d’angle
deux fois l’angle formé par les deux droites). Si P et Q sont parallèles, alors on
obtient une translation (on généralise sans peine le cas du plan).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit