Chap. 13. Compléments de géométrie
Pour que M soit la matrice d’une rotation, il est nécessaire (et suffisant car
(C 1 (M), C 2 (M)) est une famille orthonormale) que C 3 (M) = C 1 (M) ∧ C 2 (M).
On résout donc :
1
3
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠ =
1
3
⎛
⎝
2
−2
−1
⎞
⎠ ∧
1
3
⎛
⎝
2
−2
−1
⎞
⎠ , ce qui donne directement
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−1
−2
2
⎞
⎠ . Donc
M =
1
3
⎛
⎝
2 2 −1
−2 1 −2
−1 2
2
⎞
⎠ .
On procède alors comme dans l’exercice précédent.
• L’axe est porté et est orienté par le vecteur u = (1, 0, −1). Soit u ∈] − p, p]
son angle. On a 1 + 2 cos u = tr A =
5
3
donc u = ± Arccos
1
3
. En prenant
x = (1, 0, 0) ∈ R
3
\ Ru, on obtient :
sgn (sin u) = sgn ([x, M x, u]) = sgn
1
2
1
0 −2
0
0 −1 −1
> 0,
d’où u = Arccos
1
3
.
Exercice 13.15
Centrale PSI 2006
Dans R
3 affine euclidien, on considère les plans P : z = 0 et Q : x + y + 2 = 0.
Soient s P et s Q les réflexions par rapport à P et Q.
1) Donner les expressions analytiques de s P et s Q dans la base canonique.
2) Montrer que s P ◦ s Q est une rotation dont on déterminera l’axe et l’angle. Que
dire de s Q ◦ s P ?
1) L’expression analytique de s P est immédiate : x
= x, y
= y et z
= −z. Pour la
réflexion s Q , on peut également aller assez vite mais donnons une méthode générale. Soit − →
n Q un vecteur normal unitaire de Q. On peut prendre − →
n Q =
1
√
2
(1, 1, 0).
On a pour tout x ∈ R
3 ,
− →
s Q (x) =
2 − →
p Q − Id
(x) =
2(Id − − −−−− →
p Vect( − →
n Q ) ) − Id
(x)
=
Id −2 − −−−− →
p Vect( − →
n Q )
(x) = x − 2 < − →
n Q , x > − →
n Q .
On en déduit les images de la base canonique B, d’où
mat( − →
s Q , B) =
⎛
⎝
0 −1 0
−1
0 0
0
0 1
⎞
⎠ .