Les vecteurs colonnes C 1 , C 2 et C 3 de la matrice M forment une base orthonormale directe si et seulement si M est la matrice d’une rotation, ce qui peut se
traduire par C 3 = C 1 ∧ C 2 .
◦ si det u = −1, alors −u est une rotation (que l’on étudie comme précédemment) mais le géomètre préfère voir u comme la composée (commutative) d’une
rotation et d’une réflexion (s a ⊥ )...
Exercice 13.13
CCP PC 2005
On note f l’endomorphisme de R
3 dont la matrice représentative dans la base
canonique est A =
1
3
⎛
⎝
1 −2 −2
−2
1 −2
2
2 −1
⎞
⎠ . Montrer que f est une isométrie dont
on précisera les caractéristiques.
On remarque que A est une matrice orthogonale (ses vecteurs colonnes sont orthogonaux et unitaires) donc f est une isométrie vectorielle (ou encore un automorphisme orthogonal). De plus det A = 1, donc f est une rotation. Pour la caractériser, on cherche son axe, c’est-à-dire son espace propre associé à la valeur propre 1
(ensemble des invariants). Une fois l’axe orienté (par un vecteur propre), on cherche
son angle avec la trace et le produit mixte.
Le vecteur u(1, −1, 0) engendre E 1 ( A), l’axe est donc D = Ru et on l’oriente par u.
Soit u ∈]−p, p] un angle représentant la rotation. On sait que tr A = 1+2 cos u =
1
3
donc u = ± Arccos(−1/3). Pour déterminer le signe, on peut utiliser la propriété
bien pratique suivante. Pour tout x ∈ R
3
\ Ru, le signe de [x, f (x), u] est égal au
signe de sin u. On choisit x le plus simple possible, typiquement x = (1, 0, 0) donc
f (x) vaut la première colonne de A. Il vient :
sgn (sin u) = sgn
1
1
1
0 −2 −1
0
2
0
> 0.
Conclusion : f est la rotation d’axe Ru, orienté par u et d’angle Arccos(−1/3).
Exercice 13.14
Navale PC 2005
On pose M =
1
3
⎛
⎝
2 2 a
−2 1 b
−1 2 c
⎞
⎠ . Trouver a, b, c pour que M soit une matrice de
rotation. Déterminer alors son axe et son angle.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
traduire par C 3 = C 1 ∧ C 2 .
◦ si det u = −1, alors −u est une rotation (que l’on étudie comme précédemment) mais le géomètre préfère voir u comme la composée (commutative) d’une
rotation et d’une réflexion (s a ⊥ )...
Exercice 13.13
CCP PC 2005
On note f l’endomorphisme de R
3 dont la matrice représentative dans la base
canonique est A =
1
3
⎛
⎝
1 −2 −2
−2
1 −2
2
2 −1
⎞
⎠ . Montrer que f est une isométrie dont
on précisera les caractéristiques.
On remarque que A est une matrice orthogonale (ses vecteurs colonnes sont orthogonaux et unitaires) donc f est une isométrie vectorielle (ou encore un automorphisme orthogonal). De plus det A = 1, donc f est une rotation. Pour la caractériser, on cherche son axe, c’est-à-dire son espace propre associé à la valeur propre 1
(ensemble des invariants). Une fois l’axe orienté (par un vecteur propre), on cherche
son angle avec la trace et le produit mixte.
Le vecteur u(1, −1, 0) engendre E 1 ( A), l’axe est donc D = Ru et on l’oriente par u.
Soit u ∈]−p, p] un angle représentant la rotation. On sait que tr A = 1+2 cos u =
1
3
donc u = ± Arccos(−1/3). Pour déterminer le signe, on peut utiliser la propriété
bien pratique suivante. Pour tout x ∈ R
3
\ Ru, le signe de [x, f (x), u] est égal au
signe de sin u. On choisit x le plus simple possible, typiquement x = (1, 0, 0) donc
f (x) vaut la première colonne de A. Il vient :
sgn (sin u) = sgn
1
1
1
0 −2 −1
0
2
0
> 0.
Conclusion : f est la rotation d’axe Ru, orienté par u et d’angle Arccos(−1/3).
Exercice 13.14
Navale PC 2005
On pose M =
1
3
⎛
⎝
2 2 a
−2 1 b
−1 2 c
⎞
⎠ . Trouver a, b, c pour que M soit une matrice de
rotation. Déterminer alors son axe et son angle.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit