Chap. 13. Compléments de géométrie
Nous voulons donc démontrer que |c| . |b − d| |b| . |c − d| + |d| . |b − c| .
Écrivons que c(b − d) = b(c − d) + d(b − c). On utilise alors l’inégalité triangulaire
(passage au module complexe) pour conclure.
Remarque
On doit cette inégalité au mathématicien grec Ptolémée.
13.3 ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET AFFINES EN DIMENSION 3
Ce qu’il faut savoir
Rappelons et complétons les résultats sur les isométries vectorielles que nous
avons déjà abordées dans le chapitre « espaces euclidiens » .
Soit M ∈ O 3 (R) \ {±I 3 }, une matrice orthogonale (représentant un endomorphisme u dans une base orthonormale directe). Rappelons qu’il s’agit d’une
matrice dont les vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et unitaires.
Pour caractériser géométriquement l’automorphisme orthogonal associé, on
regarde dans l’ordre :
• si la matrice M est de plus symétrique alors u est une symétrie orthogonale par
rapport à son image. Dans ce cas, si tr u = 1(= 1 + 1 − 1) alors u est une réflexion
(symétrie par rapport à un plan) sinon u est un retournement (symétrie par rapport
à une droite).
• si la matrice M n’est pas symétrique, on calcule son déterminant, s’il vaut 1
alors il s’agit d’une rotation sinon det M = −1 et −M est une rotation.
Si M est une rotation d’axe D = Ra, orienté par le vecteur directeur a,
on peut définir un angle u caractérisant la rotation u = rot(a, u). On peut
choisir u ∈] − p, p]. La trace de cette matrice s’obtient immédiatement par
tr u = 1 + 2 cos u . Ainsi u = ´ Arccos
1
2
(tr u − 1)
avec ´ = ±1.
On cherche ensuite un vecteur a invariant (valeur propre 1) qui orientera l’axe
D = Ra = E 1 (u).
Pour déterminer le signe ´ (le cosinus ne permet pas de trancher), on peut utiliser
la formule ci-dessous très utile :
∀x ∈ E \ Ra, sgn[a, x, u(x)] = sgn(sin u)
et ainsi déterminer le signe de u (dans ] − p, p]) en choisissant x le plus simple
possible (typiquement un vecteur de la base canonique).
Remarques
◦ On utilise parfois la caractérisation suivante des rotations parmi les matrices
orthogonales M ∈ O 3 (R).
Nous voulons donc démontrer que |c| . |b − d| |b| . |c − d| + |d| . |b − c| .
Écrivons que c(b − d) = b(c − d) + d(b − c). On utilise alors l’inégalité triangulaire
(passage au module complexe) pour conclure.
Remarque
On doit cette inégalité au mathématicien grec Ptolémée.
13.3 ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET AFFINES EN DIMENSION 3
Ce qu’il faut savoir
Rappelons et complétons les résultats sur les isométries vectorielles que nous
avons déjà abordées dans le chapitre « espaces euclidiens » .
Soit M ∈ O 3 (R) \ {±I 3 }, une matrice orthogonale (représentant un endomorphisme u dans une base orthonormale directe). Rappelons qu’il s’agit d’une
matrice dont les vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et unitaires.
Pour caractériser géométriquement l’automorphisme orthogonal associé, on
regarde dans l’ordre :
• si la matrice M est de plus symétrique alors u est une symétrie orthogonale par
rapport à son image. Dans ce cas, si tr u = 1(= 1 + 1 − 1) alors u est une réflexion
(symétrie par rapport à un plan) sinon u est un retournement (symétrie par rapport
à une droite).
• si la matrice M n’est pas symétrique, on calcule son déterminant, s’il vaut 1
alors il s’agit d’une rotation sinon det M = −1 et −M est une rotation.
Si M est une rotation d’axe D = Ra, orienté par le vecteur directeur a,
on peut définir un angle u caractérisant la rotation u = rot(a, u). On peut
choisir u ∈] − p, p]. La trace de cette matrice s’obtient immédiatement par
tr u = 1 + 2 cos u . Ainsi u = ´ Arccos
1
2
(tr u − 1)
avec ´ = ±1.
On cherche ensuite un vecteur a invariant (valeur propre 1) qui orientera l’axe
D = Ra = E 1 (u).
Pour déterminer le signe ´ (le cosinus ne permet pas de trancher), on peut utiliser
la formule ci-dessous très utile :
∀x ∈ E \ Ra, sgn[a, x, u(x)] = sgn(sin u)
et ainsi déterminer le signe de u (dans ] − p, p]) en choisissant x le plus simple
possible (typiquement un vecteur de la base canonique).
Remarques
◦ On utilise parfois la caractérisation suivante des rotations parmi les matrices
orthogonales M ∈ O 3 (R).