Ce système s’inverse en
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a =
1
2
AB
2 + AC
2
− BC
2
b =
1
2
AB
2 + BC
2
− AC
2
g =
1
2
AC
2 + BC
2
− AB
2
.
Or
BC
2 =
−→
B A +
−→
AC
2
= AB
2 + AC
2
− 2
−→
AB ·
−→
AC
donc a =
−→
AB ·
−→
AC et de même b =
−→
BC ·
−→
B A et g =
−→
C A·
−→
C B.
Conclusion : la condition nécessaire et suffisante est a + b 0, b + g 0,
a + g 0,
a −
(a + b) (a + g),
b −
(b + a) (b + g)
et
g −
(g + a) (g + b).
2) On suppose implicitement le triangle non plat. Soit H l’orthocentre de ABC. Il
existe a
, b
, g
réels de somme non nulle, définis à un scalaire multiplicatif non
nul près tels que H est le barycentre du système pondéré (A, a
), (B, b
), (C, g
).
Nous avons par exemple, (a
+ b
+ g
)
− − →
AH = b
−→
AB + g
−→
AC. Sachant que les
droites ( AH) et (BC) sont orthogonales, on obtient, en effectuant le produit
scalaire avec
−→
BC, la relation 0 = −bb
+ gg
. De la même façon, on obtient
aa
= bb
= gg
= l. Le réel l est non nul car abg = 0 (sinon on aurait
a
= b
= g
= 0).
Il en résulte que H est le barycentre du système pondéré (A,
l
a
), (B,
l
b
), (C,
l
g
).
On peut bien sûr choisir l = 1.
Ce qu’il faut savoir
Un triangle (éventuellement plat) de côté a, b, c existe si et seulement si a b+c,
b a + c et c a + b ce qui est équivalent à |b − c| a b + c.
Une autre formulation utile est : deux cercles C(O, R) et C(O
, R
) sont d’intersection non vide si et seulement si
|R − R
| O O
R + R
.
Exercice 13.12
Polytechnique MP 2007
Soient A, B, C et D quatre points du plan affine euclidien. Montrer que :
AC × B D AB × C D + AD × BC.
Désignons par b l’affixe de
−→
AB, par c celle de
−→
AC et par d celle de
− − →
AD.
b − d est l’affixe de
− − →
D B, c − d est l’affixe de
− − →
DC et b − c est l’affixe de
−→
C B.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a =
1
2
AB
2 + AC
2
− BC
2
b =
1
2
AB
2 + BC
2
− AC
2
g =
1
2
AC
2 + BC
2
− AB
2
.
Or
BC
2 =
−→
B A +
−→
AC
2
= AB
2 + AC
2
− 2
−→
AB ·
−→
AC
donc a =
−→
AB ·
−→
AC et de même b =
−→
BC ·
−→
B A et g =
−→
C A·
−→
C B.
Conclusion : la condition nécessaire et suffisante est a + b 0, b + g 0,
a + g 0,
a −
(a + b) (a + g),
b −
(b + a) (b + g)
et
g −
(g + a) (g + b).
2) On suppose implicitement le triangle non plat. Soit H l’orthocentre de ABC. Il
existe a
, b
, g
réels de somme non nulle, définis à un scalaire multiplicatif non
nul près tels que H est le barycentre du système pondéré (A, a
), (B, b
), (C, g
).
Nous avons par exemple, (a
+ b
+ g
)
− − →
AH = b
−→
AB + g
−→
AC. Sachant que les
droites ( AH) et (BC) sont orthogonales, on obtient, en effectuant le produit
scalaire avec
−→
BC, la relation 0 = −bb
+ gg
. De la même façon, on obtient
aa
= bb
= gg
= l. Le réel l est non nul car abg = 0 (sinon on aurait
a
= b
= g
= 0).
Il en résulte que H est le barycentre du système pondéré (A,
l
a
), (B,
l
b
), (C,
l
g
).
On peut bien sûr choisir l = 1.
Ce qu’il faut savoir
Un triangle (éventuellement plat) de côté a, b, c existe si et seulement si a b+c,
b a + c et c a + b ce qui est équivalent à |b − c| a b + c.
Une autre formulation utile est : deux cercles C(O, R) et C(O
, R
) sont d’intersection non vide si et seulement si
|R − R
| O O
R + R
.
Exercice 13.12
Polytechnique MP 2007
Soient A, B, C et D quatre points du plan affine euclidien. Montrer que :
AC × B D AB × C D + AD × BC.
Désignons par b l’affixe de
−→
AB, par c celle de
−→
AC et par d celle de
− − →
AD.
b − d est l’affixe de
− − →
D B, c − d est l’affixe de
− − →
DC et b − c est l’affixe de
−→
C B.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit