Chap. 13. Compléments de géométrie
La relation
−→
AB ·
−→
AC +
− − →
M B ·
− − →
MC =
−→
BC ·
−→
B A +
− − →
MC ·
− − →
M A peut se simplifier avec la
relation de Chasles :
−→
AB ·
−→
AC −
−→
BC ·
−→
B A =
− − →
MC ·
− − →
M A −
− − →
M B ·
− − →
MC
−→
AB ·
−→
AC +
−→
BC
=
− − →
MC ·
−→
B A.
Les points M vérifiant les égalités de l’énoncé sont donc ceux vérifiant :
−→
AB ·
−→
AC +
−→
BC
=
−→
AB ·
− − →
C M et
−→
AC ·
−→
AB +
−→
C B
=
−→
AC ·
− − →
B M.
Soient les points H AB et H AC définies par
−−−→
C H AB =
−→
AC +
−→
BC et
−−−→
B H AC =
−→
AB +
−→
C B.
Les égalités de l’énoncé sont alors équivalentes à
−→
AB ·
− −−− →
M H AB =
−→
AC ·
− −−− →
M H AC = 0.
On obtient un seul point, intersection de deux droites respectivement perpendiculaires à ( AB) et (AC) et passant respectivement par H AB et H AC .
Exercice 13.11
Polytechnique MP 2007
1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur a, b, g ∈ R pour qu’existent
trois points A, B, C du plan affine euclidien tels que
−→
AB ·
−→
AC = a,
−→
BC ·
−→
B A = b et
−→
C A ·
−→
C B = g.
2) On suppose cette condition vérifiée ainsi que abg = 0.
Montrer que l’orthocentre H de ABC est le barycentre du système pondéré
( A, 1/a), (B, 1/b), (C, 1/g).
1) Supposons (analyse) que les points A, B et C existent. Remarquons que
a =
−→
AB ·
−→
AC =
−→
AB ·
−→
AB +
−→
BC
= AB
2
− b. De même pour les autres
relations. Ainsi
⎧
⎨
⎩
AB
2 = a + b
BC
2 = b + g
AC
2 = a + g
. En particulier, une condition nécessaire est
que a + b 0, b + g 0 et a + g 0. Rappelons qu’il existe un triangle (éventuellement plat) de côtés de longueur a, b et c si et seulement si a b+c, b a+c
et c a + b (ce qui s’écrit également de manière équivalente |b − c| a b + c).
Par exemple AB AC + BC ⇔
a + b
b + g +
√
a + g s’écrit aussi en
élevant au carré, g −
(g + a) (g + b).
Réciproquement (synthèse) supposons que a+b 0, b+g 0 et a+g 0 et que
g −
(g + a) (g + b), b −
(b + a) (b + g) et a −
(a + b) (a + g).
En posant a =
b + g, b =
√
a + g et c =
a + b, on sait d’après l’hypothèse
qu’il existe un triangle ABC (éventuellement plat) tel que
⎧
⎨
⎩
AB
2 = a + b
BC
2 = b + g
AC
2 = a + g
.
La relation
−→
AB ·
−→
AC +
− − →
M B ·
− − →
MC =
−→
BC ·
−→
B A +
− − →
MC ·
− − →
M A peut se simplifier avec la
relation de Chasles :
−→
AB ·
−→
AC −
−→
BC ·
−→
B A =
− − →
MC ·
− − →
M A −
− − →
M B ·
− − →
MC
−→
AB ·
−→
AC +
−→
BC
=
− − →
MC ·
−→
B A.
Les points M vérifiant les égalités de l’énoncé sont donc ceux vérifiant :
−→
AB ·
−→
AC +
−→
BC
=
−→
AB ·
− − →
C M et
−→
AC ·
−→
AB +
−→
C B
=
−→
AC ·
− − →
B M.
Soient les points H AB et H AC définies par
−−−→
C H AB =
−→
AC +
−→
BC et
−−−→
B H AC =
−→
AB +
−→
C B.
Les égalités de l’énoncé sont alors équivalentes à
−→
AB ·
− −−− →
M H AB =
−→
AC ·
− −−− →
M H AC = 0.
On obtient un seul point, intersection de deux droites respectivement perpendiculaires à ( AB) et (AC) et passant respectivement par H AB et H AC .
Exercice 13.11
Polytechnique MP 2007
1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur a, b, g ∈ R pour qu’existent
trois points A, B, C du plan affine euclidien tels que
−→
AB ·
−→
AC = a,
−→
BC ·
−→
B A = b et
−→
C A ·
−→
C B = g.
2) On suppose cette condition vérifiée ainsi que abg = 0.
Montrer que l’orthocentre H de ABC est le barycentre du système pondéré
( A, 1/a), (B, 1/b), (C, 1/g).
1) Supposons (analyse) que les points A, B et C existent. Remarquons que
a =
−→
AB ·
−→
AC =
−→
AB ·
−→
AB +
−→
BC
= AB
2
− b. De même pour les autres
relations. Ainsi
⎧
⎨
⎩
AB
2 = a + b
BC
2 = b + g
AC
2 = a + g
. En particulier, une condition nécessaire est
que a + b 0, b + g 0 et a + g 0. Rappelons qu’il existe un triangle (éventuellement plat) de côtés de longueur a, b et c si et seulement si a b+c, b a+c
et c a + b (ce qui s’écrit également de manière équivalente |b − c| a b + c).
Par exemple AB AC + BC ⇔
a + b
b + g +
√
a + g s’écrit aussi en
élevant au carré, g −
(g + a) (g + b).
Réciproquement (synthèse) supposons que a+b 0, b+g 0 et a+g 0 et que
g −
(g + a) (g + b), b −
(b + a) (b + g) et a −
(a + b) (a + g).
En posant a =
b + g, b =
√
a + g et c =
a + b, on sait d’après l’hypothèse
qu’il existe un triangle ABC (éventuellement plat) tel que
⎧
⎨
⎩
AB
2 = a + b
BC
2 = b + g
AC
2 = a + g
.