En un point M(x 0 , y 0 ) de H, une équation de la tangente à H est
x x 0
a 2 −
yy 0
b 2 = 1
(en notant f : (x, y) →
x
2
a 2 −
y
2
b 2 − 1, une équation de la tangente en M à H est
∂ f
∂x
(M 0 )(x − x 0 ) +
∂ f
∂ y
(M 0 )(x − x 0 ) = 0).
Déterminons les coordonnées de A et A
en fonction de x 0 et y 0 . Pour A, on résout
le système :
⎧
⎨
⎩
x x 0
a 2 −
yy 0
b 2 = 1
y =
b
a
x
⇔
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x =
a
2 b
bx 0 − ay 0
y =
ab
2
bx 0 − ay 0
.
On a bien bx 0 −ay 0 = 0 car les asymptotes ne rencontrent pas l’hyperbole. De même,
A
a pour coordonnées
a
2 b
bx 0 + ay 0
, −
ab
2
bx 0 + ay 0
. L’aire A du triangle O A A
vaut
donc
A=
1
2
det
− − →
O A,
− − →
O A
=
1
2
a
3 b
3
(bx 0 )
2
− (ay 0 )
2
1 1
1 −1
=
ab
x 2
0
a 2 −
y 2
0
b 2
= ab.
Ainsi, l’aire A est indépendante de x 0 et y 0 donc du point M.
Exercice 13.9
Mines-Ponts MP 2007
Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Majorer le volume d’un tétraèdre de E dont les arêtes sont toutes 1.
Nous savons que le volume d’un tétraèdre ABC D est donné par la formule
V =
1
6
−→
AB,
−→
AC,
− − →
AD
où [ ] désigne le produit mixte. Ainsi,
V =
1
6
| <
−→
AB ∧
−→
AC,
− − →
AD > |
1
6
−→
AB ∧
−→
AC
− − →
AD
1
6
−→
AB
− →
AC
− − →
AD
1
6
.
Exercice 13.10
Polytechnique MP 2007
Soit ABC un vrai triangle. Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant :
−→
AB ·
−→
AC +
− − →
M B ·
− − →
MC =
−→
BC ·
−→
B A +
− − →
MC ·
− − →
M A =
−→
C A·
−→
C B +
− − →
M A·
− − →
M B.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
x x 0
a 2 −
yy 0
b 2 = 1
(en notant f : (x, y) →
x
2
a 2 −
y
2
b 2 − 1, une équation de la tangente en M à H est
∂ f
∂x
(M 0 )(x − x 0 ) +
∂ f
∂ y
(M 0 )(x − x 0 ) = 0).
Déterminons les coordonnées de A et A
en fonction de x 0 et y 0 . Pour A, on résout
le système :
⎧
⎨
⎩
x x 0
a 2 −
yy 0
b 2 = 1
y =
b
a
x
⇔
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x =
a
2 b
bx 0 − ay 0
y =
ab
2
bx 0 − ay 0
.
On a bien bx 0 −ay 0 = 0 car les asymptotes ne rencontrent pas l’hyperbole. De même,
A
a pour coordonnées
a
2 b
bx 0 + ay 0
, −
ab
2
bx 0 + ay 0
. L’aire A du triangle O A A
vaut
donc
A=
1
2
det
− − →
O A,
− − →
O A
=
1
2
a
3 b
3
(bx 0 )
2
− (ay 0 )
2
1 1
1 −1
=
ab
x 2
0
a 2 −
y 2
0
b 2
= ab.
Ainsi, l’aire A est indépendante de x 0 et y 0 donc du point M.
Exercice 13.9
Mines-Ponts MP 2007
Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Majorer le volume d’un tétraèdre de E dont les arêtes sont toutes 1.
Nous savons que le volume d’un tétraèdre ABC D est donné par la formule
V =
1
6
−→
AB,
−→
AC,
− − →
AD
où [ ] désigne le produit mixte. Ainsi,
V =
1
6
| <
−→
AB ∧
−→
AC,
− − →
AD > |
1
6
−→
AB ∧
−→
AC
− − →
AD
1
6
−→
AB
− →
AC
− − →
AD
1
6
.
Exercice 13.10
Polytechnique MP 2007
Soit ABC un vrai triangle. Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant :
−→
AB ·
−→
AC +
− − →
M B ·
− − →
MC =
−→
BC ·
−→
B A +
− − →
MC ·
− − →
M A =
−→
C A·
−→
C B +
− − →
M A·
− − →
M B.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit