Chap. 13. Compléments de géométrie
Commençons par déterminer le point V, intersection de D et P.
⎧
⎨
⎩
2x + 3y + z − 1 = 0
x = y
y = z
⇔ x = y = z =
1
6
.
Nous savons que le plan P
symétrique de P par rapport à D passe par V et a pour
vecteur normal − →
s D ( → n ) où → n est un vecteur normal de P et − →
s D est la symétrie vectorielle par rapport à
→
D , la droite vectorielle associée à D.
On peut prendre pour vecteur normal → n (2, 3, 1) et le vecteur → u (1, 1, 1) est un vecteur
directeur de D (
→
D = R → u ). Ainsi,
− →
s D ( → n ) =
2 − →
p D − id
→ n
= 2
< → u , → n >
→ u
2
→ u − → n
= (2, 1, 3) .
Le plan P
admet donc pour équation
2 ×
x −
1
6
+ 1 ×
y −
1
6
+ 3 ×
z −
1
6
= 0 ⇔ 2x + y + 3z − 1 = 0.
Exercice 13.8
Mines-Ponts MP 2007
Soit H une hyperbole du plan centrée en un point O, d’asymptotes D et D
. La
tangente à H en un point M recoupe D (resp. D
) en A (resp. A
). Montrer que
l’aire du triangle O A A
ne dépend pas de M.
Dans un repère orthonormal adapté, l’hyperbole H admet pour équation réduite
x
2
a 2 −
y
2
b 2 = 1 et les asymptotes ont pour équations y = ±
b
a
x.