est donc une droite de même vecteur directeur → u et passant par le projeté orthogonal
de A sur P.
On calcule alors les coordonnées de p P ( A) en passant par la projection vectorielle
sur la normale (vectorielle) à P.
− −−−− →
Op P (A) = − →
p P (
− − →
O A) =
id − − − →
p P ⊥
(
− − →
O A)
=
− − →
O A −
< → n ,
− − →
O A >
→ n
2
→ n avec → n (1, 1, 1) vecteur normal à P.
Après calcul, on trouve que p P ( A) a pour coordonnées
7
3
, −
5
3
, −
2
3
d’où une
représentation paramétrique de la droite p P (D),
p P (D) :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x = −2t +
7
3
y = t −
5
3
z = t −
2
3
, t ∈ R.
On obtient le système d’équations, en éliminant la variable t,
p P (D) :
x = −2z + 1
y = z − 1
.
Ce qu’il faut retenir
• La présence de constantes non nulles dans les équations définissant les plans
ou les droites de l’espace indiquent que ces sous-espaces sont affines (et non
vectoriels). On obtient les équations de leur direction vectorielle en annulant ces
constantes.
• Les transformations affines classiques (projections, symétries, rotations) possèdent des points invariants. Supposons qu’un point O est l’un des points invariants d’une application affine f . Pour étudier l’application f , on considère le
point O comme origine et on utilise sa partie linéaire
→
f grâce à la relation
−−−−→
O f (M) =
→
f (
− − →
O M).
• Il existe des applications affines sans point fixe : les translations, la composée
d’une réflexion avec une translation de vecteur parallèle à la direction du plan de
réflexion... Leur étude détaillée n’est pas un objectif du programme actuel.
Exercice 13.7
Centrale PSI 2007
Dans R
3 affine euclidien, soient P le plan d’équation 2x + 3y + z − 1 = 0 et D la
droite d’équations (x = y, y = z). Déterminer le plan symétrique (orthogonal)
de P par rapport à D.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
de A sur P.
On calcule alors les coordonnées de p P ( A) en passant par la projection vectorielle
sur la normale (vectorielle) à P.
− −−−− →
Op P (A) = − →
p P (
− − →
O A) =
id − − − →
p P ⊥
(
− − →
O A)
=
− − →
O A −
< → n ,
− − →
O A >
→ n
2
→ n avec → n (1, 1, 1) vecteur normal à P.
Après calcul, on trouve que p P ( A) a pour coordonnées
7
3
, −
5
3
, −
2
3
d’où une
représentation paramétrique de la droite p P (D),
p P (D) :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x = −2t +
7
3
y = t −
5
3
z = t −
2
3
, t ∈ R.
On obtient le système d’équations, en éliminant la variable t,
p P (D) :
x = −2z + 1
y = z − 1
.
Ce qu’il faut retenir
• La présence de constantes non nulles dans les équations définissant les plans
ou les droites de l’espace indiquent que ces sous-espaces sont affines (et non
vectoriels). On obtient les équations de leur direction vectorielle en annulant ces
constantes.
• Les transformations affines classiques (projections, symétries, rotations) possèdent des points invariants. Supposons qu’un point O est l’un des points invariants d’une application affine f . Pour étudier l’application f , on considère le
point O comme origine et on utilise sa partie linéaire
→
f grâce à la relation
−−−−→
O f (M) =
→
f (
− − →
O M).
• Il existe des applications affines sans point fixe : les translations, la composée
d’une réflexion avec une translation de vecteur parallèle à la direction du plan de
réflexion... Leur étude détaillée n’est pas un objectif du programme actuel.
Exercice 13.7
Centrale PSI 2007
Dans R
3 affine euclidien, soient P le plan d’équation 2x + 3y + z − 1 = 0 et D la
droite d’équations (x = y, y = z). Déterminer le plan symétrique (orthogonal)
de P par rapport à D.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit