Chap. 13. Compléments de géométrie
1) Soient z ∈ C \ {−i } et Z = w(z). Alors Z =
z − i
z + i
⇔ (1 − Z )z = i(Z + 1).
Il est clair que Z = 1 (sinon 2i = 0), et donc z = i
Z + 1
1 − Z
. Ceci prouve que w est
une bijection de C \ {−i} sur C \ {1} d’application réciproque Z →
Z + 1
1 − Z
i.
2) Soient A et B d’affixes respectives −i et i , et soit M d’affixe z. On a alors
z − i
z + i
∈ D ⇔ B M
2 < AM
2
⇔
− − →
B O +
− − →
O M
2
<
− − →
AO +
− − →
O M
2
⇔ 2
−→
AB
=4 j
·
− − →
O M > 0 ⇔ M ∈ H (le vecteur j est le vecteur d’affixe i).
(l’équivalence B M < AM ⇔ M ∈ H peut aussi se voir directement, il s’agit
d’un demi-plan ouvert de frontière la médiatrice de [ A, B], c’est-à-dire (Ox)).
Ainsi z ∈ H ⇔ w(z) ∈ D donc Z ∈ D ⇔w
−1 (z) ∈ H (on a bien H ⊂ C \ {−i}
et D ⊂ C \ {1}) donc la restriction de w à H est une bijection de H dans D.
Exercice 13.5
Centrale PC 2005
Soit E = R
3 muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien orienté.
Soit a ∈ E tel que a = 0. Montrer que tout vecteur de E est entièrement déterminé par la donnée de < a, x > et de a ∧ x.
Posons
→
I =
1
a
a. On choisit
→
J unitaire et orthogonal à
→
I et on pose
→
K =
→
I ∧
→
J .
On sait que
→
I ,
→
J ,
→
K
est une base orthonormale directe.
Si x a pour coordonnées dans cette base (x 1 , x 2 , x 3 ), alors <
→
I , x >= x 1 et
→
I ∧ x = −x 3
→
J + x 2
→
K . Ainsi x 1 =
< a, x >
a
et
⎛
⎝
0
−x 3
x 2
⎞
⎠ =
1
a
(a ∧ x), ce qui
permet donc de reconstituer entièrement x.
Exercice 13.6
Centrale PSI 2006
Soit P le plan d’équation x +y+z = 0 et D la droite d’équation
x = −2z + 3
y = z − 1
.
Déterminer la projection orthogonale de D sur P.
En paramétrant D par la variable z, on voit que → u (−2, 1, 1) est un vecteur directeur
(et que A(3, −1, 0) est un point de D). Le plan P contient l’origine donc son plan
vectoriel admet la même équation x + y + z = 0, qui est vérifiée par les coordonnées
de → u . Nous sommes donc dans le cas particulier où D est parallèle à P. Sa projection
1) Soient z ∈ C \ {−i } et Z = w(z). Alors Z =
z − i
z + i
⇔ (1 − Z )z = i(Z + 1).
Il est clair que Z = 1 (sinon 2i = 0), et donc z = i
Z + 1
1 − Z
. Ceci prouve que w est
une bijection de C \ {−i} sur C \ {1} d’application réciproque Z →
Z + 1
1 − Z
i.
2) Soient A et B d’affixes respectives −i et i , et soit M d’affixe z. On a alors
z − i
z + i
∈ D ⇔ B M
2 < AM
2
⇔
− − →
B O +
− − →
O M
2
<
− − →
AO +
− − →
O M
2
⇔ 2
−→
AB
=4 j
·
− − →
O M > 0 ⇔ M ∈ H (le vecteur j est le vecteur d’affixe i).
(l’équivalence B M < AM ⇔ M ∈ H peut aussi se voir directement, il s’agit
d’un demi-plan ouvert de frontière la médiatrice de [ A, B], c’est-à-dire (Ox)).
Ainsi z ∈ H ⇔ w(z) ∈ D donc Z ∈ D ⇔w
−1 (z) ∈ H (on a bien H ⊂ C \ {−i}
et D ⊂ C \ {1}) donc la restriction de w à H est une bijection de H dans D.
Exercice 13.5
Centrale PC 2005
Soit E = R
3 muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien orienté.
Soit a ∈ E tel que a = 0. Montrer que tout vecteur de E est entièrement déterminé par la donnée de < a, x > et de a ∧ x.
Posons
→
I =
1
a
a. On choisit
→
J unitaire et orthogonal à
→
I et on pose
→
K =
→
I ∧
→
J .
On sait que
→
I ,
→
J ,
→
K
est une base orthonormale directe.
Si x a pour coordonnées dans cette base (x 1 , x 2 , x 3 ), alors <
→
I , x >= x 1 et
→
I ∧ x = −x 3
→
J + x 2
→
K . Ainsi x 1 =
< a, x >
a
et
⎛
⎝
0
−x 3
x 2
⎞
⎠ =
1
a
(a ∧ x), ce qui
permet donc de reconstituer entièrement x.
Exercice 13.6
Centrale PSI 2006
Soit P le plan d’équation x +y+z = 0 et D la droite d’équation
x = −2z + 3
y = z − 1
.
Déterminer la projection orthogonale de D sur P.
En paramétrant D par la variable z, on voit que → u (−2, 1, 1) est un vecteur directeur
(et que A(3, −1, 0) est un point de D). Le plan P contient l’origine donc son plan
vectoriel admet la même équation x + y + z = 0, qui est vérifiée par les coordonnées
de → u . Nous sommes donc dans le cas particulier où D est parallèle à P. Sa projection