13.2 Géométrie affine euclidienne
En effet, si on note M =
⎛
⎝
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
⎞
⎠ , alors le déterminant de M est nul si et
seulement si le noyau de X → M X est non réduit à {0} c’est-à-dire qu’il existe
(x, y, z) = (0, 0, 0) tel que pour tout i ∈ {1, 2, 3}, a i x + b i y + c i z = 0.
Soit z = 0, auquel cas les trois droites sont concourantes au point de coordonnées
x
z
,
y
z
, soit z = 0 et alors les vecteurs (a 1 , a 2 , a 3 ) et (b 1 , b 2 , b 3 ) sont colinéaires
(car (x, y) = (0, 0)) donc les trois vecteurs (a i , b i ), i ∈ {1, 2, 3} également ce qui
signifie, en considérant les vecteurs normaux, que les trois droites sont parallèles.
Pour terminer la preuve, on calcule
a
1
0
1
1− b −1
g − 1
g
−g
= abg + 1
Conclusion : ( A A
), (B B
) et (CC
) sont concourantes si et seulement si
abg =
A B
A C
×
B C
B A
×
C A
C B
= −1.
Remarque
Ce résultat est appelé théorème de Céva.
Ce qu’il faut retenir
• Pour un exercice qui n’utilise pas de produit scalaire, d’angle, de distance euclidienne, il est souvent judicieux de choisir un repère affine qui simplifie les calculs.
• Trois droites du plan D i : a i x + b i y + c i = 0 sont concourantes ou parallèles si
et seulement si
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
= 0.
13.2 GÉOMÉTRIE AFFINE EUCLIDIENNE
Exercice 13.4
Centrale PSI 2006
1) Montrer que z →
z − i
z + i
est une bijection de C \ {−i} dans C \ {1}.
2) Soient D = {z ∈ C, |z| < 1} et H = {z∈ C, Im(z) > 0}. Soit z ∈ C \ {−i}.
Démontrer géométriquement que z ∈ H ⇔
z − i
z + i
∈ D.
En déduire une bijection de H dans D.
Notons w : z ∈ C \ {−i} } →
z − i
z + i
.
En effet, si on note M =
⎛
⎝
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
⎞
⎠ , alors le déterminant de M est nul si et
seulement si le noyau de X → M X est non réduit à {0} c’est-à-dire qu’il existe
(x, y, z) = (0, 0, 0) tel que pour tout i ∈ {1, 2, 3}, a i x + b i y + c i z = 0.
Soit z = 0, auquel cas les trois droites sont concourantes au point de coordonnées
x
z
,
y
z
, soit z = 0 et alors les vecteurs (a 1 , a 2 , a 3 ) et (b 1 , b 2 , b 3 ) sont colinéaires
(car (x, y) = (0, 0)) donc les trois vecteurs (a i , b i ), i ∈ {1, 2, 3} également ce qui
signifie, en considérant les vecteurs normaux, que les trois droites sont parallèles.
Pour terminer la preuve, on calcule
a
1
0
1
1− b −1
g − 1
g
−g
= abg + 1
Conclusion : ( A A
), (B B
) et (CC
) sont concourantes si et seulement si
abg =
A B
A C
×
B C
B A
×
C A
C B
= −1.
Remarque
Ce résultat est appelé théorème de Céva.
Ce qu’il faut retenir
• Pour un exercice qui n’utilise pas de produit scalaire, d’angle, de distance euclidienne, il est souvent judicieux de choisir un repère affine qui simplifie les calculs.
• Trois droites du plan D i : a i x + b i y + c i = 0 sont concourantes ou parallèles si
et seulement si
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
= 0.
13.2 GÉOMÉTRIE AFFINE EUCLIDIENNE
Exercice 13.4
Centrale PSI 2006
1) Montrer que z →
z − i
z + i
est une bijection de C \ {−i} dans C \ {1}.
2) Soient D = {z ∈ C, |z| < 1} et H = {z∈ C, Im(z) > 0}. Soit z ∈ C \ {−i}.
Démontrer géométriquement que z ∈ H ⇔
z − i
z + i
∈ D.
En déduire une bijection de H dans D.
Notons w : z ∈ C \ {−i} } →
z − i
z + i
.