Remarque
L’exercice revient à déterminer l’image de l’application linéaire associée canoniquement à la matrice M ∈ M 4 (C) définie par M =
1
2
⎛
⎜
⎜
⎝
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠ . Cette
matrice est de rang 3 et Im M = {
t (m 1 , . . . , m 4 ) | m 1 − m 2 = m 4 − m 3 }.
Exercice 13.3
Polytechnique MP 2006
Soient A, B, C trois points non alignés du plan, A
(resp. B
, C
) un point de
(BC) (resp. ( AC), ( AB)). Montrer que (A A
), (B B
) et (CC
) sont concourantes
si et seulement si :
A B
A C
×
B C
B A
×
C A
C B
= −1.
Pour cet exercice de géométrie affine pure (on ne considère pas de distance euclidienne), considérons un repère qui simplifiera les calculs. Plaçons-nous dans le
repère (A,
−→
AB,
−→
AC).
Remarquons que, nécessairement, A
= A ( A /
∈ (BC)) et, implicitement, A
= C et
de même pour les points B
et C
.
Soit a =
A B
A C
. On a
− − →
A
B − a
− − →
A
C =
→
0 = (
− − →
A
A +
−→
AB) − a(
− − →
A
A +
−→
AC), ce qui
donne (1 − a)
− − →
A A
=
−→
AB − a
−→
AC. On a a = 1, sinon A, B et C seraient alignés, il
vient que A
a pour coordonnées dans notre repère
1
1 − a
,
−a
1 − a
. De la même
manière, on trouve B
0,
1
1 − b
et C
−g
1 − g
, 0
avec b = 1 et g = 1.
On détermine alors des équations des droites (A A
), (B B
) et (CC
).
Par exemple pour (B B
) : on calcule
x − 1
−1
y
1
1 − b
= 0 ce qui nous donne
x + (1 − b)y − 1 = 0.
On obtient pour (A A
) : ax + y = 0 et pour (CC
) : (g − 1) x + gy − g = 0.
Utilisons le lemme suivant : trois droites D i : a i x + b i y + c i = 0 sont concourantes
ou parallèles si et seulement si
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
= 0.
L’exercice revient à déterminer l’image de l’application linéaire associée canoniquement à la matrice M ∈ M 4 (C) définie par M =
1
2
⎛
⎜
⎜
⎝
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠ . Cette
matrice est de rang 3 et Im M = {
t (m 1 , . . . , m 4 ) | m 1 − m 2 = m 4 − m 3 }.
Exercice 13.3
Polytechnique MP 2006
Soient A, B, C trois points non alignés du plan, A
(resp. B
, C
) un point de
(BC) (resp. ( AC), ( AB)). Montrer que (A A
), (B B
) et (CC
) sont concourantes
si et seulement si :
A B
A C
×
B C
B A
×
C A
C B
= −1.
Pour cet exercice de géométrie affine pure (on ne considère pas de distance euclidienne), considérons un repère qui simplifiera les calculs. Plaçons-nous dans le
repère (A,
−→
AB,
−→
AC).
Remarquons que, nécessairement, A
= A ( A /
∈ (BC)) et, implicitement, A
= C et
de même pour les points B
et C
.
Soit a =
A B
A C
. On a
− − →
A
B − a
− − →
A
C =
→
0 = (
− − →
A
A +
−→
AB) − a(
− − →
A
A +
−→
AC), ce qui
donne (1 − a)
− − →
A A
=
−→
AB − a
−→
AC. On a a = 1, sinon A, B et C seraient alignés, il
vient que A
a pour coordonnées dans notre repère
1
1 − a
,
−a
1 − a
. De la même
manière, on trouve B
0,
1
1 − b
et C
−g
1 − g
, 0
avec b = 1 et g = 1.
On détermine alors des équations des droites (A A
), (B B
) et (CC
).
Par exemple pour (B B
) : on calcule
x − 1
−1
y
1
1 − b
= 0 ce qui nous donne
x + (1 − b)y − 1 = 0.
On obtient pour (A A
) : ax + y = 0 et pour (CC
) : (g − 1) x + gy − g = 0.
Utilisons le lemme suivant : trois droites D i : a i x + b i y + c i = 0 sont concourantes
ou parallèles si et seulement si
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
= 0.