13.1 Géométrie affine
vectoriel usuel
⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
1
−2
2
⎞
⎠ =
⎛
⎝
4
−1
−3
⎞
⎠ = → u 1 . De même, on peut choisir
A 2 (0, 1, 2) et → u 2
⎛
⎝
−1
−1
−2b
⎞
⎠ . Les droites D 1 et D 2 sont coplanaires si et seulement si
det
− −− →
A 1 A 2 , → u 1 , → u 2
= 0 ce qui s’écrit
−a − 2
3
4
−1
a + 2
3
−1 −1
2
−3 −2b
= 0.
On obtient finalement la condition suivante : a + 2b + ab − 3 = 0.
Ce qu’il faut retenir
Deux droites de l’espace D 1 (A 1 , → u 1 ) et D 2 (A 2 , → u 2 ) sont coplanaires si et seulement si det
− −− →
A 1 A 2 , → u 1 , → u 2
= 0.
Exercice 13.2
Mines-Ponts PC 2005
Soient M 1 , M 2 , M 3 et M 4 , quatre points distincts du plan. Existe-t-il quatre points
A 1 , A 2 , A 3 et A 4 , tels qu’en posant A 5 = A 1 , pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4}, M i soit
le milieu de A i A i+1 ?
Une rédaction rapide consiste à raisonner avec les affixes m 1 , . . . , m 4 des points
M 1 , . . . , M 4 .
• Supposons qu’il existe quatre points A 1 , A 2 , A 3 , A 4 (d’affixes respectives
a 1 , . . . , a 4 ) vérifiant l’énoncé. On a :
a 1 = a 5 et pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4},
a i + a i+1
2
= m i .
De ce système à quatre équations, on en déduit notamment
2(m 1 − m 2 ) = a 1 − a 3 = 2(m 4 − m 3 ).
• Réciproquement, supposons m 1 − m 2 = m 4 − m 3 (1). Soit a 1 ∈ C quelconque.
Soient a 3 ∈ C tel que 2(m 1 − m 2 ) = a 1 − a 3 (2), a 2 ∈ C et a 4 ∈ C tels que
2m 1 = a 1 + a 2 (3) et 2m 4 = a 4 + a 1 (4).
(3) − (2) nous donne 2m 2 = a 2 + a 3 et (4)-(2) combiné avec (1) nous donne
2m 3 = a 3 + a 4 . On en déduit que la propriété est satisfaite.
En conclusion, une condition nécessaire et suffisante sur les points M 1 , M 2 , M 3 et
M 4 est
−−−→
M 2 M 1 =
−−−→
M 3 M 4 c’est-à-dire que M 1 M 2 M 3 M 4 est un parallélogramme.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
vectoriel usuel
⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
1
−2
2
⎞
⎠ =
⎛
⎝
4
−1
−3
⎞
⎠ = → u 1 . De même, on peut choisir
A 2 (0, 1, 2) et → u 2
⎛
⎝
−1
−1
−2b
⎞
⎠ . Les droites D 1 et D 2 sont coplanaires si et seulement si
det
− −− →
A 1 A 2 , → u 1 , → u 2
= 0 ce qui s’écrit
−a − 2
3
4
−1
a + 2
3
−1 −1
2
−3 −2b
= 0.
On obtient finalement la condition suivante : a + 2b + ab − 3 = 0.
Ce qu’il faut retenir
Deux droites de l’espace D 1 (A 1 , → u 1 ) et D 2 (A 2 , → u 2 ) sont coplanaires si et seulement si det
− −− →
A 1 A 2 , → u 1 , → u 2
= 0.
Exercice 13.2
Mines-Ponts PC 2005
Soient M 1 , M 2 , M 3 et M 4 , quatre points distincts du plan. Existe-t-il quatre points
A 1 , A 2 , A 3 et A 4 , tels qu’en posant A 5 = A 1 , pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4}, M i soit
le milieu de A i A i+1 ?
Une rédaction rapide consiste à raisonner avec les affixes m 1 , . . . , m 4 des points
M 1 , . . . , M 4 .
• Supposons qu’il existe quatre points A 1 , A 2 , A 3 , A 4 (d’affixes respectives
a 1 , . . . , a 4 ) vérifiant l’énoncé. On a :
a 1 = a 5 et pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4},
a i + a i+1
2
= m i .
De ce système à quatre équations, on en déduit notamment
2(m 1 − m 2 ) = a 1 − a 3 = 2(m 4 − m 3 ).
• Réciproquement, supposons m 1 − m 2 = m 4 − m 3 (1). Soit a 1 ∈ C quelconque.
Soient a 3 ∈ C tel que 2(m 1 − m 2 ) = a 1 − a 3 (2), a 2 ∈ C et a 4 ∈ C tels que
2m 1 = a 1 + a 2 (3) et 2m 4 = a 4 + a 1 (4).
(3) − (2) nous donne 2m 2 = a 2 + a 3 et (4)-(2) combiné avec (1) nous donne
2m 3 = a 3 + a 4 . On en déduit que la propriété est satisfaite.
En conclusion, une condition nécessaire et suffisante sur les points M 1 , M 2 , M 3 et
M 4 est
−−−→
M 2 M 1 =
−−−→
M 3 M 4 c’est-à-dire que M 1 M 2 M 3 M 4 est un parallélogramme.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit