13 Compléments de géométrie
Préambule
La géométrie fait partie intégrante du programme des concours et intervient dans
des domaines très variés. Bête noire des candidats, elle ne doit pas être négligée.
Malgré l’apparente simplicité des énoncés, la résolution demande un savoir-faire
qui ne s’acquiert que par un entraînement régulier. Le lecteur est invité à reprendre
les chapitres de géométrie affine euclidienne en dimension 2 et 3 du livre de première année. Le but de ce chapitre – qui n’est en rien exhaustif – est d’inciter le
candidat à travailler suffisamment la géométrie en lui montrant un échantillon de
ce qui peut lui être demandé aux concours.
13.1 GÉOMÉTRIE AFFINE
Exercice 13.1
CCP MP 2006
Dans l’espace affine de dimension 3 rapporté à un repère (O,, ı, , j, k), on considère
les droites D 1 , d’équations x + y + z −1 = x −2y +2z −a = 0, et D 2 , d’équations
z − 2bx − 2 = y − x − 1 = 0, où a et b sont deux paramètres réels.
Comment choisir a et b pour que ces droites soient coplanaires ?
Supposons que D 1 soit définie par un de ses points A 1 et un vecteur directeur → u 1 et
de même pour D 2 avec A 2 et → u 2 .
On remarque en distinguant le cas D 1 , D 2 parallèles ou non, que ces droites sont
coplanaires si et seulement si les vecteurs
− −− →
A 1 A 2 , → u 1 et → u 2 sont liés c’est-à-dire
det
− −− →
A 1 A 2 , → u 1 , → u 2
= 0.
Déterminons A 1 par exemple en choisissant z A 1 = 0. On résout alors le système
x + y = 1
x − 2y = a
, il vient x =
a + 2
3
et y =
−a + 1
3
.
Donc A 1 (
a + 2
3
,
−a + 1
3
, 0) ∈ D 1 . On peut trouver un vecteur directeur en cherchant un second point, ou plus directement en calculant avec les formules du produit
Préambule
La géométrie fait partie intégrante du programme des concours et intervient dans
des domaines très variés. Bête noire des candidats, elle ne doit pas être négligée.
Malgré l’apparente simplicité des énoncés, la résolution demande un savoir-faire
qui ne s’acquiert que par un entraînement régulier. Le lecteur est invité à reprendre
les chapitres de géométrie affine euclidienne en dimension 2 et 3 du livre de première année. Le but de ce chapitre – qui n’est en rien exhaustif – est d’inciter le
candidat à travailler suffisamment la géométrie en lui montrant un échantillon de
ce qui peut lui être demandé aux concours.
13.1 GÉOMÉTRIE AFFINE
Exercice 13.1
CCP MP 2006
Dans l’espace affine de dimension 3 rapporté à un repère (O,, ı, , j, k), on considère
les droites D 1 , d’équations x + y + z −1 = x −2y +2z −a = 0, et D 2 , d’équations
z − 2bx − 2 = y − x − 1 = 0, où a et b sont deux paramètres réels.
Comment choisir a et b pour que ces droites soient coplanaires ?
Supposons que D 1 soit définie par un de ses points A 1 et un vecteur directeur → u 1 et
de même pour D 2 avec A 2 et → u 2 .
On remarque en distinguant le cas D 1 , D 2 parallèles ou non, que ces droites sont
coplanaires si et seulement si les vecteurs
− −− →
A 1 A 2 , → u 1 et → u 2 sont liés c’est-à-dire
det
− −− →
A 1 A 2 , → u 1 , → u 2
= 0.
Déterminons A 1 par exemple en choisissant z A 1 = 0. On résout alors le système
x + y = 1
x − 2y = a
, il vient x =
a + 2
3
et y =
−a + 1
3
.
Donc A 1 (
a + 2
3
,
−a + 1
3
, 0) ∈ D 1 . On peut trouver un vecteur directeur en cherchant un second point, ou plus directement en calculant avec les formules du produit