Donner l’équation de la surface engendrée par la rotation de cette courbe autour
de l’axe (Oz).
La courbe G est l’intersection du cylindre de révolution C d’équation x
2 +(y−1)
2 = 4
avec le plan P d’équation 2y − 2z + 3 = 0. L’axe de C est la droite parallèle à l’axe
(Oz) qui passe par le point (0, 1, 0). Comme le plan P n’est pas parallèle à l’axe
(Oz), la courbe G est une ellipse.
Notons que G est aussi l’intersection du paraboloïde P d’équation x
2 + y
2 = 2z
et du plan P. Soit alors S la surface engendrée par la rotation de G autour de
l’axe (Oz) et soit M = (x, y, z) un point de S. Il existe alors u ∈ R, tel que
l’image M
= (x
, y
, z
) de M par la rotation d’angle u autour de l’axe (Oz) soit
un point de G. On a alors (x
, y
, z
) = (x cos u − y sin u, x sin u + y cos u, z) et
(x cos u − y sin u)
2 + (x sin u + y cos u)
2 = 2z. On a donc x
2 + y
2 = 2z, ce qui montre
que S est incluse dans le paraboloïde P.
Observons que S n’est pas égal à P tout entier. On a en effet x
2 + (y
− 1)
2 = 4, d’où
−1 y
3 et puisque z = y
+
3
2
,
1
2
z
9
2
.
Réciproquement soit M = (x, y, z) un point de P tel que
1
2
z
9
2
. Le nombre
réel y
− 1 = z −
5
2
est compris entre −2 et 2 et il existe donc un réel x
tel que
x
2 + (y
− 1)
2 = 4. Comme x
2 + y
2 = 2z = x
2 + y
2 , le point M
appartient à G et
M est l’image de M
= (x
, y
, z) dans une rotation d’axe (Oz). Donc M appartient
à S.
5) Lorsque a = 0, on obtient la quadrique d’équation z
2 + 2y − 4 = 0 : il s’agit du
cylindre étudié dans la question 3). (Ce n’est pas un cône). On peut donc supposer
a = 0. L’équation de (Q (a,b) ) peut s’écrire
ax
2 + a
y +
b − a
a
2
+ bz
2
−
4b +
(a − b)
2
a
= 0.
Soit A le point de coordonnées (0, y 0 , 0) où y 0 =
a − b
a
et plaçons nous dans
le repère R = (A,
→
ı ,
→
j ,
→
k ). Si (X , Y , Z ) désigne les coordonnées d’un point
dans ce repère, une équation de (Q (a,b) ), est alors aX
2 + aY
2 + bZ
2 = K , avec
K = 4b +
(a − b)
2
a
=
(a + b)
2
a
. C’est un cône si et seulement si K = 0, c’est-àdire si et seulement si a + b = 0. Dans le repère initial il s’agit du cône d’équation
x
2 + (y − 2)
2
− z
2 = 0. Son sommet est le point (0, 2, 0).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
de l’axe (Oz).
La courbe G est l’intersection du cylindre de révolution C d’équation x
2 +(y−1)
2 = 4
avec le plan P d’équation 2y − 2z + 3 = 0. L’axe de C est la droite parallèle à l’axe
(Oz) qui passe par le point (0, 1, 0). Comme le plan P n’est pas parallèle à l’axe
(Oz), la courbe G est une ellipse.
Notons que G est aussi l’intersection du paraboloïde P d’équation x
2 + y
2 = 2z
et du plan P. Soit alors S la surface engendrée par la rotation de G autour de
l’axe (Oz) et soit M = (x, y, z) un point de S. Il existe alors u ∈ R, tel que
l’image M
= (x
, y
, z
) de M par la rotation d’angle u autour de l’axe (Oz) soit
un point de G. On a alors (x
, y
, z
) = (x cos u − y sin u, x sin u + y cos u, z) et
(x cos u − y sin u)
2 + (x sin u + y cos u)
2 = 2z. On a donc x
2 + y
2 = 2z, ce qui montre
que S est incluse dans le paraboloïde P.
Observons que S n’est pas égal à P tout entier. On a en effet x
2 + (y
− 1)
2 = 4, d’où
−1 y
3 et puisque z = y
+
3
2
,
1
2
z
9
2
.
Réciproquement soit M = (x, y, z) un point de P tel que
1
2
z
9
2
. Le nombre
réel y
− 1 = z −
5
2
est compris entre −2 et 2 et il existe donc un réel x
tel que
x
2 + (y
− 1)
2 = 4. Comme x
2 + y
2 = 2z = x
2 + y
2 , le point M
appartient à G et
M est l’image de M
= (x
, y
, z) dans une rotation d’axe (Oz). Donc M appartient
à S.
5) Lorsque a = 0, on obtient la quadrique d’équation z
2 + 2y − 4 = 0 : il s’agit du
cylindre étudié dans la question 3). (Ce n’est pas un cône). On peut donc supposer
a = 0. L’équation de (Q (a,b) ) peut s’écrire
ax
2 + a
y +
b − a
a
2
+ bz
2
−
4b +
(a − b)
2
a
= 0.
Soit A le point de coordonnées (0, y 0 , 0) où y 0 =
a − b
a
et plaçons nous dans
le repère R = (A,
→
ı ,
→
j ,
→
k ). Si (X , Y , Z ) désigne les coordonnées d’un point
dans ce repère, une équation de (Q (a,b) ), est alors aX
2 + aY
2 + bZ
2 = K , avec
K = 4b +
(a − b)
2
a
=
(a + b)
2
a
. C’est un cône si et seulement si K = 0, c’est-àdire si et seulement si a + b = 0. Dans le repère initial il s’agit du cône d’équation
x
2 + (y − 2)
2
− z
2 = 0. Son sommet est le point (0, 2, 0).
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