Chap. 12. Surfaces
Pour qu’un point M = (x, y, z) appartienne à C, il faut et il suffit que la droite passant
par M et dirigée par le vecteur K rencontre la courbe G. Ainsi la relation M ∈ C est
équivalente à
∃l ∈ R tel que
(1) : (x + l)
2 + (y + l)
2 = 2(z + l),
(2) : (x + l)
2 + (y + l)
2 + (z + l)
2 = 8.
Par soustraction on voit que ces deux relations sont équivalentes à
(1
) : (x + l)
2 + (y + l)
2 = 2(z + l),
(2
) : (z + l)
2 + 2(z + l) − 8 = 0,
et comme le trinôme T
2 + 2T − 8 = 0 admet les deux racines réelles 2 et −4, elles
sont encore équivalentes à
(1
) : (x + l)
2 + (y + l)
2 = 2(z + l),
(2
) : z + l = 2 ou z + l = −4.
Comme (x + l)
2 + (y + l)
2
0, la seule valeur qui convient est z + l = 2. Il en résulte
que C est la surface d’équation (x − z + 2)
2 + (y − z + 2)
2 = 4.
Je vous propose maintenant un exercice très proche du précédent, où il s’agit de
déterminer une équation d’un cône.
Exercice 12.9
Donner une équation du cône C de sommet A = (1, 1, 1) et dont une directrice
est l’intersection G des surfaces d’équations x
2 + y
2 = 2z et x
2 + y
2 + z
2 = 8.
Pour qu’un point M = (x, y, z) distinct de A appartienne à C, il faut et il suffit que
la droite (AM) rencontre la courbe G. La relation M ∈ C est donc ici équivalente à :
∃l ∈ R tel que
(1) : (1 + l(x − 1))
2 + (1 + l(y − 1))
2 = 2(1 + l(z − 1)),
(2) : (1 + l(x − 1))
2 + (1 + l(y − 1))
2 + (1 + l(z − 1))
2 = 8.
Par soustraction on voit que ces relations sont équivalentes à
(1
) : (1 + l(x − 1))
2 + (1 + l(y − 1))
2 = 2(1 + l(z − 1)),
(2
) : (1 + l(z − 1))
2 + 2(1 + l(z − 1)) − 8 = 0,
En procédant comme dans l’exercice précédent, on trouve ici 1 + l(z − 1) = 2 et il
résulte que C est la surface d’équation
1 +
x − 1
z − 1
2
+
1 +
y − 1
z − 1
= 4 ou (z + x − 2)
2 + (z + y − 2)
2 = 4(z − 1)
2 .
Exercice 12.10
Centrale MP 2006 Ã
Identifier dans R
2 la courbe G d’équation
x
2 + y
2
− 2y − 3 = 0
2y − 2z + 3 = 0