la forme quadratique Z
2 + Y Z a deux valeurs propres réelles : l 1 =
1 +
√
2
2
> 0 et
l 2 =
1 −
√
2
2
< 0. Il s’agit donc d’un paraboloïde hyperbolique.
12.3 QUELQUES SURFACES USUELLES
Ce qu’il faut savoir
1) Cylindre
Une surface cylindrique S est définie par la donnée d’une courbe G et d’un
vecteur non nul
→
K . La réunion des droites D dirigées par le vecteur
→
K et qui
rencontrent G est appelée un cylindre. Les droites D sont appelées les génératrices du cylindre et la courbe G une directrice. L’intersection d’un cylindre
avec un plan orthogonal aux génératrices est appelée une section droite.
2) Cônes
Une surface conique S est définie par la donnée d’une courbe G et d’un point
S qui n’est pas situé sur G.
La réunion des droites passant par S et qui rencontrent G est appelée le cône
de sommet S et de directrice G. Ces droites sont appelées les génératrices du
cône, S est appelé le sommet du cône et G est une directrice.
3) Surface de révolution
Soit D est une droite. Un cercle d’axe D est un cercle situé dans un plan perpendiculaire à D et dont le centre est situé sur D. Une surface de révolution
S est définie par la donnée d’une courbe G et d’une droite D. La surface S est
la réunion des cercles d’axe D qui rencontrent G.
La droite D est appelé l’axe, la courbe G est appelée une directrice et les
cercles d’axe D qui rencontrent G sont appelés les parallèles de la surface.
On dit que S est la surface de révolution engendrée par la rotation de G autour
de D.
Les plans qui contiennent l’axe D sont appelés les plans méridiens. L’intersection de S avec un plan méridien est appelé une méridienne.
Exercice 12.8
CCP MP 2007
Donner une équation du cylindre C dirigé par le vecteur K =
⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠ et dont
une directrice est l’intersection G des surfaces d’équations x
2 + y
2 = 2z et
x
2 + y
2 + z
2 = 8.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 + Y Z a deux valeurs propres réelles : l 1 =
1 +
√
2
2
> 0 et
l 2 =
1 −
√
2
2
< 0. Il s’agit donc d’un paraboloïde hyperbolique.
12.3 QUELQUES SURFACES USUELLES
Ce qu’il faut savoir
1) Cylindre
Une surface cylindrique S est définie par la donnée d’une courbe G et d’un
vecteur non nul
→
K . La réunion des droites D dirigées par le vecteur
→
K et qui
rencontrent G est appelée un cylindre. Les droites D sont appelées les génératrices du cylindre et la courbe G une directrice. L’intersection d’un cylindre
avec un plan orthogonal aux génératrices est appelée une section droite.
2) Cônes
Une surface conique S est définie par la donnée d’une courbe G et d’un point
S qui n’est pas situé sur G.
La réunion des droites passant par S et qui rencontrent G est appelée le cône
de sommet S et de directrice G. Ces droites sont appelées les génératrices du
cône, S est appelé le sommet du cône et G est une directrice.
3) Surface de révolution
Soit D est une droite. Un cercle d’axe D est un cercle situé dans un plan perpendiculaire à D et dont le centre est situé sur D. Une surface de révolution
S est définie par la donnée d’une courbe G et d’une droite D. La surface S est
la réunion des cercles d’axe D qui rencontrent G.
La droite D est appelé l’axe, la courbe G est appelée une directrice et les
cercles d’axe D qui rencontrent G sont appelés les parallèles de la surface.
On dit que S est la surface de révolution engendrée par la rotation de G autour
de D.
Les plans qui contiennent l’axe D sont appelés les plans méridiens. L’intersection de S avec un plan méridien est appelé une méridienne.
Exercice 12.8
CCP MP 2007
Donner une équation du cylindre C dirigé par le vecteur K =
⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠ et dont
une directrice est l’intersection G des surfaces d’équations x
2 + y
2 = 2z et
x
2 + y
2 + z
2 = 8.
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