Chap. 12. Surfaces
Le lieu de P est donc la courbe du plan (x0y) définie par la paramétrisation
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = a + a
t
2
1 + t
2
y = a
t
3
1 + t
2
t ∈ R.
(Cette courbe est appelée une cissoïde droite.)
Exercice 12.7
Mines-Ponts MP 2005 Ã
Soit a un nombre réel. Déterminer la surface S « balayée » par les droites parallèles au plan P d’équation y + z = 0 qui coupe les droites D 1 et D 2 d’équations
respectives {x + y = a; z = 0} et {z = a; x = 0}.
Le vocabulaire concernant les surfaces est parfois imagé ! Il faut comprendre que S
est la réunion des droites parallèles à P et qui rencontrent D 1 et D 2 .
La droite D 1 passe par le point (a, 0, 0) et sa direction est Vect((1, −1, 0)). Les points
de D 1 sont donc les points de de la forme M 1 = (a +l, −l, 0) avec l ∈ R. On voit de
même que les points de D 2 sont de la forme M 2 = (0, m, a), avec m ∈ R. Les points
M = (x, y, z) de la droite D = (M 1 , M 2 ) sont les barycentres de M 1 et M 2 , c’est-àdire les points de la forme M = t M 1 + (1 − t)M 2 = t(a + l, −l, 0) + (1 − t)(0, m, a),
où t est un réel. Un paramétrage de D est donc :
⎧
⎨
⎩
x = (a + l)t
y = −(l + m)t − (a + l)
z = −at + a
t ∈ R.
Pour que cette droite soit parallèle au plan P, il faut et il suffit que y + z soit une
constante (indépendante de t), c’est-à-dire que l + m + a = 0.
Il en résulte que S est la surface définie par le paramétrage
⎧
⎨
⎩
x = t(a + l)
y = at − l − a
z = (1 − t)a
(t, l) ∈ R
2 .
On en déduit que t = 1 −
z
a
puis que l = at − y − a = −z − y. Il en
résulte que S est la surface d’équation cartésienne x =
1 −
z
a
(a − y − z) ou
z
2 + yz − ax − ay − 2az + a
2 = 0. Il s’agit donc d’une quadrique dont nous
allons préciser la nature : on peut tout d’abord écrire l’équation sous la forme
(z − a)
2 + y(z − a) − ax = 0. Dans un repère admettant le point A = (0, 0, a) pour
origine, S a pour équation Z
2 + Y Z − a X = 0. La matrice M =
0 1/2
1/2 1
de
Le lieu de P est donc la courbe du plan (x0y) définie par la paramétrisation
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = a + a
t
2
1 + t
2
y = a
t
3
1 + t
2
t ∈ R.
(Cette courbe est appelée une cissoïde droite.)
Exercice 12.7
Mines-Ponts MP 2005 Ã
Soit a un nombre réel. Déterminer la surface S « balayée » par les droites parallèles au plan P d’équation y + z = 0 qui coupe les droites D 1 et D 2 d’équations
respectives {x + y = a; z = 0} et {z = a; x = 0}.
Le vocabulaire concernant les surfaces est parfois imagé ! Il faut comprendre que S
est la réunion des droites parallèles à P et qui rencontrent D 1 et D 2 .
La droite D 1 passe par le point (a, 0, 0) et sa direction est Vect((1, −1, 0)). Les points
de D 1 sont donc les points de de la forme M 1 = (a +l, −l, 0) avec l ∈ R. On voit de
même que les points de D 2 sont de la forme M 2 = (0, m, a), avec m ∈ R. Les points
M = (x, y, z) de la droite D = (M 1 , M 2 ) sont les barycentres de M 1 et M 2 , c’est-àdire les points de la forme M = t M 1 + (1 − t)M 2 = t(a + l, −l, 0) + (1 − t)(0, m, a),
où t est un réel. Un paramétrage de D est donc :
⎧
⎨
⎩
x = (a + l)t
y = −(l + m)t − (a + l)
z = −at + a
t ∈ R.
Pour que cette droite soit parallèle au plan P, il faut et il suffit que y + z soit une
constante (indépendante de t), c’est-à-dire que l + m + a = 0.
Il en résulte que S est la surface définie par le paramétrage
⎧
⎨
⎩
x = t(a + l)
y = at − l − a
z = (1 − t)a
(t, l) ∈ R
2 .
On en déduit que t = 1 −
z
a
puis que l = at − y − a = −z − y. Il en
résulte que S est la surface d’équation cartésienne x =
1 −
z
a
(a − y − z) ou
z
2 + yz − ax − ay − 2az + a
2 = 0. Il s’agit donc d’une quadrique dont nous
allons préciser la nature : on peut tout d’abord écrire l’équation sous la forme
(z − a)
2 + y(z − a) − ax = 0. Dans un repère admettant le point A = (0, 0, a) pour
origine, S a pour équation Z
2 + Y Z − a X = 0. La matrice M =
0 1/2
1/2 1
de