12.2 Exercices d’entraînement et d’approfondissement
Comme − sin
u
2
= sin
−
u
2
, la courbe G peut être décrite par le paramétrage :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x = a cos
2
u
2
y = a sin
u
2
cos
u
2
z = a sin
u
2
u ∈ [−2p, 2p].
2) La tangente à G au point M de paramètre u est dirigée par le vecteur
(x
(u), y
(u), z
(u)) =
a
2
− sin(u), cos(u), cos
u
2
.
C’est aussi l’intersection du plan tangent à la sphère S (le plan passant par M et perpendiculaire au rayon O M) et du plan tangent au cylindre C (le plan perpendiculaire
à la droite (Am) passant par la projection orthogonale de M sur le plan x Oy).
3) On déduit des calculs précédents un paramétrage de la tangente à G au point M de
paramètre u :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x = a cos
2
u
2
− l
a
2
sin(u)
y = a sin
u
2
cos
u
2
+ l
a
2
cos(u)
z = a sin
u
2
+ l
a
2
cos
u
2
l ∈ R.
Pour u = ±p, le point P où la tangente coupe le plan (x0y) correspond à la valeur
l = −2 tan
u
2
et les coordonnées de P sont alors
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x = a cos
2
u
2
+ a tan
u
2
sin u
y = a sin
u
2
cos
u
2
− a tan
u
2
cos u
z = 0
On obtient alors aisément
x = a + a sin
2
u
2
et y = a tan
u
2
− a sin
u
2
cos
u
2
,
et, en posant t = tan
u
2
, x = a + a
t
2
1 + t
2
, y = a
t
3
1 + t
2
.
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