Chap. 12. Surfaces
La première relation s’écrit
a
a
= ´
b
b
, avec ´ = ±1. Posons k =
a
a
. Si ´ = +1, on
obtient a = ka, b = kb puis g = 2k
x 0
a
−
y 0
b
, tandis que si ´ = −1, on obtient
a = ka, b = −kb et g = 2k
x 0
a
+
y 0
b
.
On obtient donc les vecteurs de la forme
V =
ka, kb, 2k
x 0
a
−
y 0
b
ou V =
ka, −kb, 2k
x 0
a
+
y 0
b
(k ∈ R).
Il existe donc exactement deux droites passant par M 0 et contenues dans H : elles
sont respectivement dirigées par
V 1 =
a, b,
2x 0
a
−
2y 0
b
et V 2 =
a, −b,
2x 0
a
+
2y 0
b
.
Il en résulte que H est la réunion d’une famille de droites : c’est donc une surface
réglée.
Exercice 12.6
Centrale PC 2007
Soit a > 0 et soit G l’intersection de la sphère S d’équation x
2 + y
2 + z
2 = a
2 et
du cylindre C d’équation x
2 + y
2
− ax = 0.
1) Déterminer un paramétrage de G.
2) Quel est la tangente à G en l’un de ses points ?
3) Soit P le point d’intersection de la tangente à G en un point M avec le plan
(x Oy). Déterminer le lieu de P lorsque M parcourt G.
1) L’intersection du cylindre C avec le plan x0y est la courbe d’équation
x −
a
2
2
+ y
2 =
a
2
4
.
C’est le cercle de centre A = (
a
2
, 0, 0) et de rayon
a
2
.
Les points de C sont les points M = (x, y, z) tels que
x =
a
2
(1 + cos(u)) = a cos
2
u
2
, y =
a
2
sin(u) = a sin
u
2
cos
u
2
,
u ∈ [0, 2p].
Pour qu’un tel point M appartienne à G, il faut et il suffit que z
2 = a
2
− x
2
− y
2 ,
c’est-à-dire z
2 = a
2
1 − cos
2
u
2
= a
2 sin
2
u
2
. On a donc z = ±a sin
u
2
.