12.2 Exercices d’entraînement et d’approfondissement
S sont réguliers et le plan tangent T 0 à S au point (x 0 , y 0 , z 0 ) est le plan d’équation
cartésienne (x − x 0 )
1
x 0
+ (y − y 0 )
1
y 0
+ (z − z 0 )
1
z 0
= 0, ou
x
x 0
+
y
y 0
+
z
z 0
= 3.
Le vecteur grad( f )(x 0 , y 0 , z 0 ) est un vecteur normal au plan T 0 ; il en résulte que la
projection orthogonal de O sur T 0 est le point P = (X , Y , Z ) =
l
x 0
,
l
y 0
,
l
z 0
, avec
l
1
x
2
0
+
1
y
2
0
+
1
z
2
0
= 3.
On en déduit que XY Z = l
3 et que X
2 + Y
2 + Z
2 = l
2
1
x
2
0
+
1
y
2
0
+
1
z
2
0
= 3l, puis
que
(X
2 + Y
2 + Z
2 )
3
XY Z
= 27.
Réciproquement soient X , Y et Z trois réels non nuls tels que (X
2 +Y
2 +Z
2 )
3 = 27XY Z.
Posons x 0 =
X
2 + Y
2 + Z
2
3X
, y 0 =
X
2 + Y
2 + Z
2
3Y
et z 0 =
X
2 + Y
2 + Z
2
3Z
. On a alors
x 0 y 0 z 0 = 1. Le point M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) appartient de S et le plan tangent à S en ce
point est le plan d’équation
x
3X
X
2 + Y
2 + Z
2
+ y
3Y
X
2 + Y
2 + Z
2
+ z
3Z
X
2 + Y
2 + Z
2
= 3.
La projection orthogonale de O sur ce plan est précisément (X , Y , Z ).
Ainsi S est la surface d’équation
(X
2 + Y
2 + Z
2 )
3
XY Z
= 27.
Exercice 12.5
Déterminer les droites tracées sur le paraboloïde hyperbolique H d’équation
z =
x
2
a
2
−
y
2
b
2
. Montrer que H est une surface réglée.
Nous utilisons la méthode de l’exercice précédent : soit M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) un point
de H et soit V = (a, b, g) un vecteur non nul. Pour que la droite passant par M 0 et
dirigée par V soit contenue dans H il faut et il suffit que
∀l ∈ R, z 0 + gl =
(x 0 + al)
2
a
2
−
(y 0 + bl)
2
b
2
c’est-à-dire que le polynôme
P(l) =
a
2
a
2
−
b
2
b
2
l
2 +
2
x 0 a
a
2
− 2
2y 0 b
b
2
− g
l
soit le polynôme nul, ou encore que
a
2
a
2
−
b
2
b
2
= 0 et g =
2x 0 a
a
2
−
2y 0 b
b
2
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
S sont réguliers et le plan tangent T 0 à S au point (x 0 , y 0 , z 0 ) est le plan d’équation
cartésienne (x − x 0 )
1
x 0
+ (y − y 0 )
1
y 0
+ (z − z 0 )
1
z 0
= 0, ou
x
x 0
+
y
y 0
+
z
z 0
= 3.
Le vecteur grad( f )(x 0 , y 0 , z 0 ) est un vecteur normal au plan T 0 ; il en résulte que la
projection orthogonal de O sur T 0 est le point P = (X , Y , Z ) =
l
x 0
,
l
y 0
,
l
z 0
, avec
l
1
x
2
0
+
1
y
2
0
+
1
z
2
0
= 3.
On en déduit que XY Z = l
3 et que X
2 + Y
2 + Z
2 = l
2
1
x
2
0
+
1
y
2
0
+
1
z
2
0
= 3l, puis
que
(X
2 + Y
2 + Z
2 )
3
XY Z
= 27.
Réciproquement soient X , Y et Z trois réels non nuls tels que (X
2 +Y
2 +Z
2 )
3 = 27XY Z.
Posons x 0 =
X
2 + Y
2 + Z
2
3X
, y 0 =
X
2 + Y
2 + Z
2
3Y
et z 0 =
X
2 + Y
2 + Z
2
3Z
. On a alors
x 0 y 0 z 0 = 1. Le point M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) appartient de S et le plan tangent à S en ce
point est le plan d’équation
x
3X
X
2 + Y
2 + Z
2
+ y
3Y
X
2 + Y
2 + Z
2
+ z
3Z
X
2 + Y
2 + Z
2
= 3.
La projection orthogonale de O sur ce plan est précisément (X , Y , Z ).
Ainsi S est la surface d’équation
(X
2 + Y
2 + Z
2 )
3
XY Z
= 27.
Exercice 12.5
Déterminer les droites tracées sur le paraboloïde hyperbolique H d’équation
z =
x
2
a
2
−
y
2
b
2
. Montrer que H est une surface réglée.
Nous utilisons la méthode de l’exercice précédent : soit M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) un point
de H et soit V = (a, b, g) un vecteur non nul. Pour que la droite passant par M 0 et
dirigée par V soit contenue dans H il faut et il suffit que
∀l ∈ R, z 0 + gl =
(x 0 + al)
2
a
2
−
(y 0 + bl)
2
b
2
c’est-à-dire que le polynôme
P(l) =
a
2
a
2
−
b
2
b
2
l
2 +
2
x 0 a
a
2
− 2
2y 0 b
b
2
− g
l
soit le polynôme nul, ou encore que
a
2
a
2
−
b
2
b
2
= 0 et g =
2x 0 a
a
2
−
2y 0 b
b
2
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit