Chap. 12. Surfaces
1) On peut proposer le paramétrage x = u
3 , y = v
3 , z = uv, avec (u, v) ∈ R
3 .
2) On voit que S contient les axes (Ox) et (Oy). Réciproquement soit D une droite,
A = (a, b, c) un point de D et V = (a, b, g) = (0, 0, 0) un vecteur directeur de D.
Pour que D soit tracée sur S, il faut et il suffit que (c + tg)
3 = (a + ta)(b + tb) pour
tout t ∈ R. On doit donc avoir
∀t ∈ R, t
3 g
3 + (3cg
2
− ab)t
2 + (3c
2 g − ab − ba)t + c
3
− ab = 0.
Il s’agit d’un polynôme et une condition nécessaire et suffisante pour qu’il s’annule pour tout t ∈ R, est que ses coefficients soient nuls. On obtient g
3 = 0,
3cg
2
− ab = 0, 3c
2 g − ab − ba = 0 et c
3
− ab = 0, d’où en déduit aisément
g = 0 et ab = 0.
• Si a = 0, on a alors ab = 0 et, puisque b = 0, on a a = 0, puis, c
3 = 0. D est
alors l’axe (Oy).
• Si b = 0, on a alors ba = 0 et, puisque a = 0, on a b = 0, puis, c
3 = 0. D est
alors l’axe (Ox).
3) La surface S est définie par l’équation f (x, y, z) = 0 avec f (x, y, z) = z
3
− x y.
La fonction f est de classe C
1 sur R
3 et grad( f )(x, y, z) = (−y, −x, 3z
2 ). Le gradient de f s’annule seulement à l’origine, qui est donc le seul point singulier de
S. En un point régulier M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) de S le plan tangent est le plan d’équation
−y 0 (x − x 0 ) − x 0 (y − y 0 )+3z
2
0 (z − z 0 ) = 0. En tenant compte de la relation z
3
0 = x 0 y 0
on obtient x y 0 + yx 0 − 3zz
2
0 + z
3
0 = 0.
4) Pour que le plan tangent au point M 0 contienne la droite d’équations x = 2,
y = 3z − 3, il faut et il suffit que
∀z ∈ R, 2y 0 + (3z − 3)x 0 − 3zz
2
0 + z
3
0 = 3z(x 0 − z
2
0 ) − 3x 0 + 2y 0 + z
3
0 = 0,
c’est-à-dire x 0 = z
2
0 et −3x 0 + 2y 0 + z
3
0 = 0 et, puisque M 0 ∈ S, z
3
0 = x 0 y 0 .
Si z 0 = 0, on obtient x 0 = 0 puis y 0 = 0, ce qui est exclu puisque le point M 0 est
régulier. On a donc z 0 = 0 et les relations x 0 = z
2
0 et x 0 y 0 = z
3
0 donnent y 0 = z 0 . La
relation −3x 0 + 2y 0 + z
3
0 = 0 donne alors z
2
0 − 3z 0 + 2 = 0, d’où z 0 = 1 ou z 0 = 2 et
on obtient finalement (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 1) ou (x 0 , y 0 , z 0 ) = (4, 2, 2).
Exercice 12.4
Mines-Ponts MP 2006
On donne la surface S d’équation cartésienne x yz = 1 et S l’ensemble des
projections orthogonales de O sur les plans tangents à S. Donner une équation
cartésienne de S.
La fonction f : R
3
→ R définie par f (x, y, z) = x yz − 1 est de classe C
1 et pour tout
(x, y, z) ∈ R
3 on a grad( f )(x, y, z) = (yz, zx, x y). En particulier si (x 0 , y 0 , z 0 ) est un
point de (S) alors grad( f )(x 0 , y 0 , z 0 ) =
1
x 0
,
1
y 0
,
1
z 0
= (0, 0, 0). Tous les points de
1) On peut proposer le paramétrage x = u
3 , y = v
3 , z = uv, avec (u, v) ∈ R
3 .
2) On voit que S contient les axes (Ox) et (Oy). Réciproquement soit D une droite,
A = (a, b, c) un point de D et V = (a, b, g) = (0, 0, 0) un vecteur directeur de D.
Pour que D soit tracée sur S, il faut et il suffit que (c + tg)
3 = (a + ta)(b + tb) pour
tout t ∈ R. On doit donc avoir
∀t ∈ R, t
3 g
3 + (3cg
2
− ab)t
2 + (3c
2 g − ab − ba)t + c
3
− ab = 0.
Il s’agit d’un polynôme et une condition nécessaire et suffisante pour qu’il s’annule pour tout t ∈ R, est que ses coefficients soient nuls. On obtient g
3 = 0,
3cg
2
− ab = 0, 3c
2 g − ab − ba = 0 et c
3
− ab = 0, d’où en déduit aisément
g = 0 et ab = 0.
• Si a = 0, on a alors ab = 0 et, puisque b = 0, on a a = 0, puis, c
3 = 0. D est
alors l’axe (Oy).
• Si b = 0, on a alors ba = 0 et, puisque a = 0, on a b = 0, puis, c
3 = 0. D est
alors l’axe (Ox).
3) La surface S est définie par l’équation f (x, y, z) = 0 avec f (x, y, z) = z
3
− x y.
La fonction f est de classe C
1 sur R
3 et grad( f )(x, y, z) = (−y, −x, 3z
2 ). Le gradient de f s’annule seulement à l’origine, qui est donc le seul point singulier de
S. En un point régulier M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) de S le plan tangent est le plan d’équation
−y 0 (x − x 0 ) − x 0 (y − y 0 )+3z
2
0 (z − z 0 ) = 0. En tenant compte de la relation z
3
0 = x 0 y 0
on obtient x y 0 + yx 0 − 3zz
2
0 + z
3
0 = 0.
4) Pour que le plan tangent au point M 0 contienne la droite d’équations x = 2,
y = 3z − 3, il faut et il suffit que
∀z ∈ R, 2y 0 + (3z − 3)x 0 − 3zz
2
0 + z
3
0 = 3z(x 0 − z
2
0 ) − 3x 0 + 2y 0 + z
3
0 = 0,
c’est-à-dire x 0 = z
2
0 et −3x 0 + 2y 0 + z
3
0 = 0 et, puisque M 0 ∈ S, z
3
0 = x 0 y 0 .
Si z 0 = 0, on obtient x 0 = 0 puis y 0 = 0, ce qui est exclu puisque le point M 0 est
régulier. On a donc z 0 = 0 et les relations x 0 = z
2
0 et x 0 y 0 = z
3
0 donnent y 0 = z 0 . La
relation −3x 0 + 2y 0 + z
3
0 = 0 donne alors z
2
0 − 3z 0 + 2 = 0, d’où z 0 = 1 ou z 0 = 2 et
on obtient finalement (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 1) ou (x 0 , y 0 , z 0 ) = (4, 2, 2).
Exercice 12.4
Mines-Ponts MP 2006
On donne la surface S d’équation cartésienne x yz = 1 et S l’ensemble des
projections orthogonales de O sur les plans tangents à S. Donner une équation
cartésienne de S.
La fonction f : R
3
→ R définie par f (x, y, z) = x yz − 1 est de classe C
1 et pour tout
(x, y, z) ∈ R
3 on a grad( f )(x, y, z) = (yz, zx, x y). En particulier si (x 0 , y 0 , z 0 ) est un
point de (S) alors grad( f )(x 0 , y 0 , z 0 ) =
1
x 0
,
1
y 0
,
1
z 0
= (0, 0, 0). Tous les points de