12.2 Exercices d’entraînement et d’approfondissement
soit
∀l ∈ R, a
3 l
3 + 3(a
2 x 0 − 3ab)l
2 + (3ax
2
0 − 3ay 0 − 3bx 0 + c)l = 0.
Cette dernière relation signifie que le polynôme
P(l) = a
3 l
3 + 3(a
2 x 0 − 3ab)l
2 + (3ax
2
0 − 3ay 0 − 3bx 0 + c)l
est le polynôme nul, c’est-à-dire que ses coefficients sont nuls. On obtient donc a = 0
et c = 3bx 0 et donc V = (0, b, 3bx 0 ) = b(0, 1, 3x 0 ). Il existe donc une droite D et
une seule : c’est la droite passant par M 0 et dirigée par le vecteur (0, 1, 3x 0 ).
Remarque
On en déduit que S est une surface réglée, c’est-à-dire qu’elle est la réunion d’une
famille de droites.
Ce qu’il faut savoir
Intersection de deux surfaces
Soient F 1 et F 2 deux applications de classe C
1 sur un ouvert U de R
3 , à valeurs
dans R et soient S 1 et S 2 les surfaces d’équation respective F 1 (x, y, z) = 0 et
F 2 (x, y, z) = 0. On suppose qu’il existe un point M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) situé sur S 1 et
S 2 et régulier pour chacune des deux surfaces. On suppose en outre que les plans
tangents en M 0 à S 1 et S 2 sont distincts, c’est-à-dire que les vecteurs gradients de
F 1 et F 2 au point M 0 ne sont pas colinéaires.
Dans ces conditions, au voisinage de M 0 , C = S 1 ∩ S 2 est le support d’une courbe
paramétrée régulière et la tangente en M 0 à cette courbe est la droite d’ intersection des plans tangents aux deux surfaces (cf. exercice 12.6).
12.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT ET D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 12.3
CCP PC 2006, Centrale PC 2006
On considère la surface S d’équation z
3 = x y.
1) Ecrire un système d’équations paramétriques de S.
2) Montrer que les axes Ox et Oy sont les seules droites tracées sur S.
3) Trouver l’équation du plan tangent en un point régulier de la surface.
4) Quels sont les points réguliers de S en lesquels le plan tangent contient la
droite
x = 2
y = 3z − 3
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