Vocabulaire
Une droite D est dite tracée sur une surface S lorsque tous les points de D appartiennent à S. Une surface est dite réglée lorsqu’elle est la réunion d’une famille
de droites.
Exercice 12.1
TPE PC 2006
Trouver les plans tangents à la surface S d’équation x
2 + y
2 +4z
2 = 1 et parallèles
au plan d’équation x + 2y + z = 0.
Soit F : R
3
→ R la fonction définie par F(x, y, z) = x
2 + y
2 + 4z
2
− 1 et soit
M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) un point de S. Le gradient de F au point M 0 est le vecteur
→
N = (2x 0 , 2y 0 , 8z 0 ). Il est non nul puisque
→
N
2 = 4(x
2
0 + y
2
0 + 16z
2
0 ) > 0. La
surface S est donc régulière. La normale à S au point M 0 est aussi dirigée par le
vecteur
− →
N 1 =
1
2
→
N = (x 0 , y 0 , 4z 0 ).
Pour que le plan tangent au point M 0 soit parallèle au plan d’équation x + 2y + z = 0,
il faut et il suffit qu’il existe l ∈ R tel que
− →
N 1 = l(1, 2, 1), c’est-à-dire tel que
x 0 = l, y 0 = 2l et 4z 0 = l. La relation x
2
0 + y
2
0 + 4z
2
0 = 1 équivaut alors à l
2 =
4
21
et donc à l = ±
2
√
21
.
On obtient donc deux points symétriques par rapport à l’origine : M 0 =
2
√
21
(1, 2, 1/4)
et M
0 = −M 0 . Les plans tangents à S en M 0 et M
0 sont les plans d’équation respective x + 2y + z =
√
21
2
et x + 2y + z = −
√
21
2
.
Exercice 12.2
On considère la surface S d’équation x
3
−3x y+z = 0 et un point M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 )
appartenant à S. Montrer qu’il existe une droite et une seule passant par M 0
tracée sur S.
Soit M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) un point de S et soit V = (a, b, c) un vecteur non nul.
Les points de la droite D passant par M 0 et dirigée par V sont de la forme
M = (x 0 + al, y 0 + bl, z 0 + cl) où l est un réel. Pour que D soit incluse dans la
surface S, il faut et il suffit que
∀l ∈ R, (x 0 + al)
3
− 3(x 0 + al)(y 0 + bl) + (z 0 + cl) = 0