Surfaces 12
12.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Ce qu’il faut savoir
On munit R
3 de la base orthonormale directe canonique B = (
→
ı ,
→
j ,
→
k ).
1) Une surface paramétrée S de R
3 est définie par une application f : U → R
3
de classe C
1 sur un ouvert U de R
2 : S = { f (u, v) | (u, v) ∈ U } . On dit que f
est un paramétrage de S.
Un point M 0 = f (u 0 , v 0 ) de S est dit régulier lorsque les vecteurs
→
V 1 =
∂ f
∂u
(u 0 , v 0 )
et
→
V 2 =
∂ f
∂v
(u 0 , v 0 ) sont non colinéaires, c’est-à-dire lorsque le vecteur
→
N =
∂ f
∂u
(u 0 , v 0 ) ∧
∂ f
∂v
(u 0 , v 0 ) est non nul ; dans ce cas, la droite passant
par M 0 et dirigée par le vecteur
→
N est la normale à S au point M 0 . Le plan
passant par M 0 et dont la direction est le plan vectoriel Vect(
− →
V 1 ,
→
V 2 ) est le plan
tangent à S au point M 0 . C’est aussi le plan passant par M 0 et orthogonal à
→
N .
La surface S est dite régulière lorsque tous ses points sont réguliers.
2) Un cas particulier. Lorsque w : U → R est une application de classe C
1 sur
un ouvert U de R
2 , S = {(x, y, w(x, y)) | (x, y) ∈ U } est la surface définie par
le paramétrage f : U → R
3 , avec f (u, v) = (u, v, w(u, v)). On dit que S est la
surface d’équation z = w(x, y). Une telle surface est régulière. Le plan tangent
au point M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 = w(x 0 , y 0 )) est le plan d’équation cartésienne
z = z 0 + (x − x 0 )
∂w
∂x
(x 0 , y 0 ) + (y − y 0 )
∂w
∂ y
(x 0 , y 0 ).
3) Surface d’équation F(x, y, z) = 0. Soit U un ouvert de R
3 et soit F une
fonction de U dans R de classe C
1 . L’ensemble
S = {(x, y, z) ∈ U | F(x, y, z) = 0}
est appelé la surface d’équation F(x, y, z) = 0.
Un point M 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) de S est dit régulier lorsque le gradient de F au
point M 0 : grad(F)(M 0 ) =
∂ F
∂x
(x 0 , y 0 , z 0 ),
∂ F
∂ y
(x 0 , y 0 , z 0 ),
∂ F
∂z
(x 0 , y 0 , z 0 )
est
non nul. Dans ce cas, le plan tangent à S au point M 0 est le plan passant par M 0
et orthogonal au vecteur grad(F)(M 0 ).