Exercice 11.35
Mines-Ponts MP 2005
Soit t → M(t) ∈ R
2 un arc birégulier et, pour tout t ∈ R, soit I (t) le centre
de courbure de l’arc au point de paramètre t. On suppose que
− −−−−→
M(t)I (t) est
indépendant de t. Que dire de {M(t) | t ∈ R} ?
Par définition du centre de courbure
− −−−−→
M(t)I (t) = R(t)
− − →
N (t), donc
− −−−−− →
M(t)I (t) = |R(t)| |
− − →
N (t) .
Mais comme
− − →
N (t) est de norme 1, on a la relation
− −−−−− →
M(t)I (t) = |R(t)|. Il en résulte
que la fonction t → |g(t)| est constante.
Utilisons alors l’abscisse curviligne s. Si m(s) = (X (s), Y (s)), est le point de la
courbe d’abscisse curviligne s, on a alors (X
(s), Y
(s)) = (cos a(s), sin a(s)),
et en notant r (s) le rayon de courbure au point m(s), on a a
(s) = 1/r (s). Il
en résulte que la fonction |a
| est constante. Comme a
est une fonction continue, alors a
est une constante a non nulle. On en déduit a(s) = as + u, puis
(X
(s), Y
(s)) = (cos(as + u), sin(as + u)).
Ceci donne
(X (s), Y (s)) =
1
a
sin(as + u) + v, −
1
a
cos(as + u) + w)
où u, v, w sont des constantes.
Finalement (X (s) − v)
2 + (Y (s) − w)
2 = 1/a
2 , et la courbe est un arc de cercle de
rayon 1/|a|.